微分法

質問

３次曲線C：y=x＾3-xと、x軸上の点P(a,0)があり、Pを通るCの接線が３本引ける。
(1)aのとりうる値の範囲を求めよ
(2)Pを通る３本の接線の接点を頂点とする三角形の重心の奇跡を図示せよ。ただし、３つの接点が同一直線状にないことは認めてよい。

(1)a＜-1,1＜aとなったんですが、(２)はどうやればいいでしょうか？
(1)は、f(x)=x＾3-x、接点(t,t＾3-t)、接線y=(3t＾2-1)x-2t＾3　としてやりました。
(＾は累乗の意味で使用しました。)

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#1です。
(1)で求めたaの範囲ではCの接線が3本存在しますので実数解が3個(t1,t2,t3)存在します。
＞2t＾3-3at＾2+a=0を得たんですが、これを満たすtが接点というのは
＞分るんですが、この式の解き方が分りません。
＞解と係数の関係でやろうとしたんですが、うまく計算できません…
t^3-(3/2)at^2+(a/2)=0
左辺=(t-t1)(t-t2)(t-t3)=t^3-(t1+t2+t3)t^2+(t1t2+t2t3+t1t3)t-t1t2t3
ですから、解と係数の関係
t1+t2+t3=(3/2)a
t1t2+t2t3+t1t3=0
t1t2t3=-a/2
を使えば重心の座標(X,Y)は
接点の3個のX座標(x1,x2,x3)=(t1,t2,t3)であることから
X=(t1+t2+t3)/3=(3/2)a/3=a/2…(A)
(1)のaの範囲から
X＜-1/2,X＞1/2…(B)
接点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)のy座標(y1,y2,y3)=(t1^3-t1,t2^3-t2,t3^2-t3)から
Y=(y1+y2+y3)/3={t1^3+t2^3+t3^3-(t1+t2+t3)}/3
={t1^3+t2^3+t3^3}/3-X
3(Y+X)=t1^3+t2^3+t3^3
=(t1+t2+t3){(t1+t2+t3)^2-3(t1t2+t2t3+t1t3)}-3t1t2t3
=(3/2)a{(9/4)a^2-0}+3a/2
=(3/2)a{(9/4)a^2+1}=(3/2)2X(9X^2+1) ((A)のaを代入)
=3X(9X^2+1)
3接点の重心の軌跡：Y=9X^3 (Xの範囲は(B)の範囲)

＃合っているか検算を必ずして下さい。

回答No.2

mister_moonlight

＞2t＾3-3at＾2+a=0を得たんですが

3つの接点のx座標をα、β、γとすると、解と係数の関係から、
α＋β＋γ＝3a/2、αβ＋βγ＋γα＝0、αβγ＝-a/2.‥‥(1)
重心の座標を(Ｘ、Ｙ)とすると、3Ｘ＝α＋β＋γ＝3a/2、‥‥(2)　3Ｙ＝(α＾3＋β＾3＋γ＾3)－(α＋β＋γ)＝{α＾3＋β＾3＋γ＾3)－3αβγ}＋3αβγ－(α＋β＋γ)＝(α＋β＋γ)(α＾2＋β＾2＋γ＾2-αβ-βγ-γα)＋3αβγ－(α＋β＋γ)‥‥(3)　後は、(3)に(1)と(2)を代入するだけです。

但し、a＜-1,1＜aですから軌跡の限界は忘れずに。

回答No.1

info22

(2)
(1)で求めた「a＜-1,1＜a」を満たすaを使って、3本の接線の接点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)の各x,y座標をaを使って表してください。

次に重心の座標(X,Y)を求めます。
X=(x1+x2+x3)/3,Y=(y1,y2,y3)/3をaを使って表して下さい。

X,Yの式からaを消去してXとYの関係式を出して下さい。
(1)で求めたaの範囲からX,Yのとりうる範囲を求めて下さい。…(A)
XとYの関係式のグラフが求める重心の軌跡の曲線になります。この曲線のうち(A)の範囲が求める軌跡になります。

分からなければ、そこまでの計算過程を補足に書いて質問して下さい。

補足

Cの接線が、P(a,0)を通るとして、2t＾3-3at＾2+a=0を得たんですが、これを満たすtが接点というのは分るんですが、この式の解き方が分りません。解と係数の関係でやろうとしたんですが、うまく計算できません…