微分法における接線と原点Oからの距離の和を求める方法
- 微分法において、√x+√y=√a (a>0) 上の点pにおける接線がx軸とy軸と交わる点をABとすると、原点Oからの距離の和OA+OBは一定であることを示す方法について説明します。
- 接点Pを（s,t）(s>0, t>0) とおくと、√s=p、√t=q となります。点Pにおける接線は Y=-q/px+pq+q^2 と表され、A(pq+p^2, 0)、B(0, pq+q^2)となります。
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微分法
√x+√y=√a(1)（a>0)上の点ｐにおける接線がx軸y軸と交わる点をそれぞれABとするとき、原点Oからの距離の和OA+OBは一定であることを示せ。 (1)上の接点Pを（ｓ、ｔ）（ｓ＞０、ｔ＞０）とおいて、√ｓ＝ｐ、√ｔ＝ｑとしたところ、点Pにおける接線は Y＝ーq/ｐｘ＋ｐｑ＋ｑ＾２と表せ、A(ｐｑ＋ｐ＾２、０）B(０、ｐｑ＋ｑ＾２）となりました。 OA+OBを√をなくすため（これでやっても結果は同じはず）OA^2+OB^2をかんがえたところ、 （ｐ＾２＋ｑ＾２）（ｐ＋ｑ）＾２＝（ｓ＋ｔ）（√ｓ＋√ｔ）＾２なりました。しかしこれでは、s,tにかかわらず一定であるという形ではありません。 どこがいけないのでしょうか？OA^2+OB^2をかんがえたところはあっているはずなのですが
- tjag
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質問者が選んだベストアンサー
√x+√y=√a (1) は放物線を４５度傾けたものです。 x^(1/2)+y^(1/2)=a^(1/2) xで微分して (1/2)x^(-1/2)+(1/2)y^(-1/2)y'=0 これより y'=-(y/x)^(1/2) (2) は出せましたか。 従って点P（ｓ、ｔ）における接線は y-t=-(t/s)^(1/2)(x-s) (3) 点P（ｓ、ｔ）が(1)上にあることから √s+√t=√a (4) 点Aではy=0、これを(3)に代入して x=s+(st)^(1/2)=OA 点Bではx=0、これを(3)に代入して y=t+(st)^(1/2)=OB OA+OB=s+t+2(st)^(1/2)=(√s+√t)^2=(√a)^2=a ((4)を使う) 質問者は A(ｐｑ＋ｐ＾２、０）B(０、ｐｑ＋ｑ＾２）を出しています。これは正解です。最後の OA+OB=p^2+2pq+q^2=(p+q)^2=(√ｓ+√ｔ)＾2 のところで躓いています。
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- gohtraw
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OAの長さはｐｑ＋ｐ＾２、OBの長さはｐｑ＋ｑ＾２ なのであれば、 両者の和は（ｐ＋ｑ）＾２＝（√ｓ＋√ｔ）＾２ となるのではないでしょうか？
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