空間ベクトルの質問です。

質問

空間内に4点O（０、０、０） 、 A（ー１、１、０） 、 B（１、０、０） 、 C（０、１、１） がある。
直線OA上の点Pと直線BC上の点Qとの距離PQが最小になる点P,Qを求めよ。

P（x１、y１、z１） Q（x２、y２、z２） とする。
OP↑＝sOA↑ （sは実数）
より、x１＝ーs 、 y１＝s 、 z１＝０

OQ↑＝OB↑＋tBC↑ （tは実数）
より、x２＝１－t 、y２＝t 、z２＝t

PQ↑＝（１－t＋s）＾２ ＋ （t－s）＾２ ＋t＾２
＝２（s－２tー１/2)^2 +t^2 +1/2

PQ↑が最小となるのは、s－２tー１/2＝０ かつ、t＝０

となっているのですが、なぜt＝０も含まれるのでしょうか。
解答お願いします。

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

>PQ↑＝（１－t＋s）＾２ ＋ （t－s）＾２ ＋t＾２　＝２（s－２tー１/2)^2 +t^2 +1/2
>PQ↑が最小となるのは、s－２tー１/2＝０ かつ、t＝０　となっているのですが、なぜt＝０も含まれるのでしょうか。

式右辺に含まれる「実変数を含む 2 乗項」の最小値は零でしょう。

他に拘束条件など無ければ、「実変数を含む 2 乗項」をすべて零にするのが当然なのでしょうネ。

回答No.1

naniwacchi

|PQ→|^2の式ですよね。
全体を大きくみて、「○^2＋△^2＋1/2が最小となるとき」と考えれば？