ベクトル

質問

4点A(0,0,1)B(2,1,0)C(0,2,-1)D(0,2,1)がある。
点Pがxy平面上を動き、点Qが直線AB上を動くとき、DP+PQが最小となるP,Qの座標を求めよ。

という問題が分かりません。
条件から→OP(p,q,0)と→OQ(2t,t,1-t)(※直線ABのベクトル方程式）というふうにおいて、最小だから一直線上かな…と思ったけれどそれでは変数4つに式3つでとけないしそもそもそういう位置関係に出来るのか謎。略解を見たらDP+PQ=CP+PQ>=CQ>=CHとありましたが、これはどういうことでしょうか？DP=CPがそもそもおかしい気がします…。

回答No.2

postro · ベストアンサー

直線ABと点Cの最短距離はAB⊥CQとなったときのCQです（略解はこれをCHとしている）
Cはxy平面より下にある（z座標が負）ことに注意すると、このときのQがもしxy平面より上にあれば線分CHはxy平面と交わっている。
この交点をPとすれば、このPがCQすなわちCP+PQすなわちDP+PQを最小にする点である。
さてAB⊥CQとなったときのQは本当にxy平面より上にあるのでしょうか？
→CQ=→OQ - →OC=(2t,t-2,2-t)　より
→CQ・→AB=(2t,t-2,2-t)・(2,1,-1)=6t-4=0　より t=2/3　よって
→OQ=(2t,t,1-t)=(4/3,2/3,1/3)　よってAB⊥CQとするQはxy平面より上にあることがわかった。
このあとは、→OP=→OQ + k→QC として　→OPのz成分が0になるようにkを決めればPの座標が求まる。

お礼

確認も必要なんですね。ちょっと頭の中で曖昧だったのでイメージが湧きました。
ありがとうございました！

回答No.5

gotn2

postro様、私もP(1,1,0) になりました。
私が高校のとき、これに似た類似問題をやったことがあります。
やっぱり、AB⊥CQとなったときに最短距離になるという考え方だと思います。
CHの点Hとはなんだろうと思ったので、補足要求すればよかったなあと思いました。

お礼

すみませ…。明記しておくべきでした。

回答No.4

postro

gotn2さんの解答についてですが、
＞DP+PQが最小となるのは、DP=CPよりCP+PQが最小となるのと同じです。
＞そして、CP+PQが最小となるのは、点C、P、Qが一直線上に並んだときです。すなわち、CP+PQ＝CQ。
↑ここですが、Qはｘｙ平面より上にある（z座標が正）ことを前提に話が展開されています。
もし下にあったら
＞そして、CP+PQが最小となるのは、点C、P、Qが一直線上に並んだときです。すなわち、CP+PQ＝CQ。
↑この話が破綻します（点C、P、Qが一直線上に並ぶことは不可能）
Qがｘｙ平面より上にあることを説明（又は証明）しない解答は減点対象だと私は思います。
それとも、Qがｘｙ平面より上にあることは（私が知らないだけで）自明である何か理由があるのでしょうか？
その後の展開はとてもよいと思います。
ところで P(1,1,0) ですよね？

お礼

やっぱり確認がいるということでしょうか…。
ありがとうございました。

回答No.3

gotn2

ANo.2様、私は下の方法で考えてみました。間違っていたら、すみません。

DP+PQが最小となるのは、DP=CPよりCP+PQが最小となるのと同じです。
そして、CP+PQが最小となるのは、点C、P、Qが一直線上に並んだときです。すなわち、CP+PQ＝CQ。
CQが最小となるときです。
→CQ＝→OQ－→OC＝(2t,t,1-t)－(0,2,-1)＝(2t,t-2,2-t)

CQの距離の式をだします。このとき、ルートがかかるので２乗して考えます。

CQ^2＝(2t)^2＋(t-2)^2＋(2-t)^2＝6t^2－8t＋8

ここから２次関数の頂点を出す式に変形します。

CQ^2＝6t^2－8t＋8＝6(t^2－4/3t)＋8＝6(t－2/3)^2＋32/3

よって、t＝2/3のとき、CQの値は最小値となる。

点C、P、Qが一直線上にあるとき、→PQ＝ｋ→CQとおく。
→PQ＝→OQ－→OP＝(2t,t,1-t)－(p,q,0)＝(2t-p,t-q,1-t)
k→CQ＝k(2t,t-2,2-t)＝{2tk,k(t-2),k(2-t)}
ここで、→PQ＝ｋ→CQですから、成分の値は同じです。
2t-p＝2tk・・・・・(1)
t-q＝k(t-2)・・・・(2)
1-t＝k(2-t)・・・・(3)
(3)よりｋ＝1-t/2-t
ｔ＝2/3ですから、k,p,qの値がそれぞれ出るはずです。

お礼

慣れた解法だったので理解しやすい感じです。
ありがとうございました！

回答No.1

gotn2

DP=CPというのは、まず図を描いてみればわかりますよ。下図で書いてみてください。（ｘ軸、ｙ軸を正面から見たような図）
　　　　　ｙ
　　　　　｜　　　
　　　　　｜
　　　　　｜
ｚ――――――――
　　　　　｜
　　　　　｜
　　　　　｜
　　　　　ｘ　
ちょうど点Dと点Cはｙ軸に関して対称です。点Pというのは、ｘｙの平面上にあるのでｚ軸は関係ないので、DP=CPというのがわかりますよね。
DP+PQが最小となるのは、質問者様の言うとおり一直線上になるときです。DP=CPというのがわかっているので、CP+PQが最小となるのと同じなんです。上図で描いてみるとわかるんですが、点C、P、Qが一直線上に並んだとき最短距離（最小）となるのが一目でわかりますよ。私はまだ解いていないのでヒントです。

お礼

DP=CP、わかりましたー。
ありがとうございました！