面積教えてください

質問

Ｏを原点とする座標平面上に直線Ｌ　ｙ＝ｘと直線Ｍ　ｙ＝－ｘがある。直線Ｌ上の点Ｐと直線Ｍ上点ＱがＯＰ+ＯＱ＝√２を満たしながら動くとする。線分ＰＱ上の点が動く範囲を領域Ｓとする。

（１）－１≦a≦１を満たす実数aに対して、直線ｘ＝aと線分ＰＱの交点ｙ座標の最大値をaの式を表せ。
（２）不等式を用いて領域Ｓを表せ。
（３）Ｓの面積を求めよ。
答え
（１）　(1/2)a^2+(1/2)
（２）ー(1/2)ｘ^2ー(1/2)≦ｙ≦(1/2)ｘ^2+(1/2)、ー(1/2)ｙ^2ー(1/2)≦ｘ≦(1/2)ｙ^2+(1/2)　（－１≦ｘ≦１）
（３）４/３
解き方を教えてください。
解説が詳しいとありがたいです。

回答No.1

mister_moonlight

これは難しくはないが　➁が面倒な問題。絶対値を考えなければならないから。
方針を示して　途中で放棄する、続きはやって。
最終的には　αβ≧0の時と　αβ≦0の2つの場合がある。1つの場合を求めて　対称性を考えても良い。
2点が　y≧0の場合を求めておく。

Ｐ(α、α)、Ｑ(-β、β)　α≧0、β≧0と置く。
ＯＰ＝√2*α、ＯＱ＝√2*βより　α＋β＝1、　‥‥(1)
直線ＰＱの方程式は(1)を使うと　y＝(2α-1)x＋2(α-α＾2)

➀
ｘ＝aとの交点のｙ座標＝αにそろえると＝-2{α-(a＋1)/2}＾2＋(a＾2＋1)/2
0≦(a＋1)/2≦1だから　➀の範囲において　α-(a＋1)/2＝0の時　最大値＝(a＾2＋1)/2

➁
これをαの方程式と見る。
f(α)＝2α＾2-2(x+1)α＋(y+x)＝0 だから　この方程式が1≧α≧0に少なくても1つの解を持つと良い。
・解が1個の時　f(1)*f(0)≦0
・解が2個の時　判別式≧0、f(1)≧0、f(0)≧0、0≦軸≦1

を求めると良い。計算は自分でやって。

➂
単なる計算問題。それくらいは　自分でできるだろう。対称性を使うだろう。
求めた領域は　y＝x　に関して対称だから。