詳しい回答を m(_ _)m

質問

xｙ平面上の放物線A：y＝x＾2、B：y＝ー（x－a）^2+b　は異なる２点P（x1、ｙ1）、Q（x2、ｙ2）で交わるとする。（ｘ1＞ｘ2）

(1)　x1－x2＝2が成り立つとき、ｂをaで表せ。
(2)　x1－x2＝2を満たしながらa、ｂが変化するとき、直線PQの通過する領域を求め、図示せよ。
(3)　線分PQの長さが2を満たしながらa、ｂが変化するとき、線分PQの中点のy座標の最小値を求めよ。

なるべく細かく教えていただけるとありがたいです。

回答No.2

solution64

解の差が２である、ということですから二つの放物線を連立させましょう。
x^2=-(x-a)^2+b

2x^2-2ax+a^2-b=o

解と係数の関係より、x1+x2=a ,,,,# x1x2=(a^2-b)/2,,,%

x1-x2=2,,,\であるから

#+\: x1=(a+2)/2 ,#-\: x2=(a-2)/2

これらを%に代入して整理すると

b=(a^2+4)/2

となります。(１)が出来れば残りも出来るのではないでしょうか。

回答No.1

Mr_Holland

設問に入る前に、次の準備をしておきます。

　２つの放物線を連立して、次の２次方程式を得ます。

　　2x^2-2ax+a^2-b＝０　　　　・・・・・・☆

　そして、２次方程式の解と係数の関係から、次の２式を得ます。

　　x1+x2＝a、　　x1x2＝(a^2-b)/2　　　・・・・（Ａ）

　また、２点Ｐ，Ｑは２つの放物線の交点であることから、次の関係を得ます。

　　y1＝x1^2、　　y2＝x2^2　　　・・・・・・・・（Ｂ）

＞(1)　x1－x2＝2が成り立つとき、ｂをaで表せ。

　x1－x2＝2　の両辺を２乗して、式（Ａ）の関係を使います。
　（交代式 x1-x2 を基本対称式 x1+x2, x1x2 で表す方法です。）

　　x1-x2＝２　かつ　x1＞x2
　⇔(x1-x2)^2＝４
　⇔{(x1+x2)^2 - 4x1x2}＝４
　⇔{x^2- 2(a^2-b)}＝４　　　　　（∵　式（Ａ）から）
　∴b＝a^2/2 +2　　　　・・・・・・・・・・・（Ｃ）

＞(2)　x1－x2＝2を満たしながらa、ｂが変化するとき、直線PQの通過する領域を求め、図示せよ。

　式☆の２解を、２次方程式の解の公式と式（Ｃ）の条件を使って求めます。

　　x1,x2＝{a±√(2b-a^2)}/2＝a/2±１
　∴x1＝a/2＋１、　x2＝a/2－１　　　　（∵ｘ1＞ｘ2）　　・・・・・（Ｅ）

　また、式（Ｄ）から、y1，y2　を求めます。

　　y1＝(a/2+1)^2、　　y2＝(a/2-1)^2　　　・・・・・・（Ｆ）

　直線ＰＱの方程式は、x1,x2,y1,y2 を使って表すと次のようになります。

　　直線ＰＱ：　ｙ-y1＝(y1-y2)/(x1-x2) (ｘ-x1)　　　（∵ｘ1＞ｘ2）

　この直線の式に、式（Ｅ）、（Ｆ）を代入して整理すると、次のようになります。

　　直線ＰＱ：　ｙ＝aｘ-a^2/4 +1

　しかし、このままでは、直線PQの通過する領域　は得られませんので、この式を　ａについての２次方程式の形に変形します。

　　直線ＰＱ：　a^2-4xa+4(y-1)＝０　　　・・・・・・（Ｇ）

　このように変形することで、問題の条件を　式（Ｇ）を満たす実解ａが存在することに置き換えて考えられます。
　その条件は、式（Ｇ）の判別式Ｄ≧０　ということになりますので、ここから次の条件が得られます。

　　Ｄ/4＝4x^2-4(y-1)≧０
　∴ｙ≦ｘ^2＋１

　つまり、求める領域は、次のようになります。

　　『　頂点（０，１）、軸：ｘ＝０　とする放物線ｙ＝ｘ^2＋１　上の点とその下の領域　』
　　（つまり、放物線上の点を含むことになります。）

＞(3)　線分PQの長さが2を満たしながらa、ｂが変化するとき、線分PQの中点のy座標の最小値を求めよ。

　準備として、線分ＰＱの中点Ｍのｙ座標を求めておきます。

　　(y1+y2)/2
＝(x1^2+x2^2)/2　　　　　　　　（∵　式（Ｂ）を代入）
＝{(x1+x2)^2-2x1x2}/2
＝b/2　　　　　　　　　　　・・・・・・・・（Ｍ）

　つまり、「線分PQの中点のy座標の最小値」を求める問題は、　b/2　の最小値を求める問題に置き換えられます。
　（従って、後は　ｂ　の最小値が得られるようにしていきます。）

　次に、線分ＰＱの長さの２乗　|PQ|^2 を　ａ，ｂ　で表しておきます。

　　|PQ|^2
＝(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
＝(x1-x2)^2+(x1^2-x2^2)^2　　　　　（∵　式（Ｂ）から　）
＝(x1-x2)^2 {1 + (x1+x2)^2}
＝{(x1+x2)^2 - 4x1x2} {1+(x1+x2)^2}　　　（式（Ｃ）を求める際に使った計算を利用）
＝(2b-a^2)(1+a^2)　　　　（∵　式（Ａ）を代入）　　　・・・・・（Ｈ）

　|PQ|＝２ですので、これを式（Ｈ）に代入して整理しますと、次の式を得ます。

　　a^4 -(2b-1)a^2 -2(b-2)＝０　　　　　・・・・・・・・・（Ｊ）

　ここで、設問（２）で使ったのと同様の手法を採ります。

　　a^2＝ｔ（≧０）　と置いたとき、式（J)は　ｔについての２次方程式になります。

　　f(t)≡t^2 -(2b-1)t -2(b-2)＝０　　　　　・・・・・・・・・（Ｋ）

　ａの4次方程式である式（J)で実数解が存在することは、ｔの2次方程式である式（Ｋ）で０または正の実解が存在することと必要十分です。
　そこで、式（Ｋ）に正の実解が存在する条件を求めます。
　それは、次の条件を同時に満たす条件です。

　　判別式：(2b-1)^2+8(b-2)≧０　　　∴ ｂ≦-5/2, 3/2≦ｂ
　　軸：　　(2b-1)/2≧０　　　　　　　∴　ｂ≧1/2
　　　　　　f(0)＝-2b+4≧０　　　　　∴　ｂ≦２

　この3条件を同時に満たすｂの範囲を求めますと、次のようになります。

　　3/2≦ｂ≦２　　　・・・・・・・・・・（Ｌ）

　このｂの範囲で、線分ＰＱの中点のｙ座標の最小値を求めますと、式（Ｍ）から　次のようになります。

　　（答え）　３／４