京大 １９９９
- 放物線y = x^2 を囲む部分の面積が常に1のとき、PQの中点Rが描く図形の方程式を求めよ。
- 答えは、x ≠ 0 のとき y = (8x^3 + 3) / 6x。
- なぜ2乗に直さないといけないのか、またなぜ2乗と3乗のときで答えが違うのか教えてください。
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京大 １９９９
２ 放物線y = x 2 の上を動く2 点P, Q があって, この放物線と線分PQ が囲む部分の 面積が常に1 であるとき, PQ の中点R が描く図形の方程式を求めよ。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 【私の答】 ＰＱのｘ座標をa,bとし、a≨bとする。 (b-a)^3=6・・・☆ また Ｒ(Ｘ，Ｙ)とすると Ｘ=(a+b)/2 Ｙ=(a^2+b^2)/2 ∴(a+b)=2x ab=2x^2-y これを☆に代入 答え・・・ｘ≠０のとき y=(8x^3+3)/6x ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 【実際の答え】 ☆の段階で ３乗から２乗に (b-a)^2= ∛(36) 同様に代入 答え・・・ｙ＝x^2+∛(36)/4 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ なぜ２乗に直さないといけないのでしょう。 また なぜ、2乗のときと３乗のときで答えが違うのか だれか教えて下さい。
- sagimi
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マイナスに着目してください。もし、三乗のままだと式変形の際、マイナスが残ってしまいませんか？ (b-a)^3=6を式変形する時、a-bに途中でなっていると思います。 a<=bなのですから、a-bはマイナスです。 これを正にするには(a-b)^2しなければなりません（そうすると、二乗ですから絶対に正になります）。 なので、(b-a)^3=(a-b)^(3/2)になると思いますが……。
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- kacchann
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代入計算がまちがってるっぽい。 (b-a)^3 これていねいに展開してみてよ。
お礼
いやいや、かたじけない。 確かに計算ミスです。b^3-a^3がでてくるから 単純な対称式では難しい。 模範解答で2乗にしている理由がわかりました！ 回答ありがとうございます。
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