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円と直線の問題

円C (x-2)^2+y^2=1と直線 y=axが異なる2点A、Bで交わるとき、線分ABの中点をP(X,Y)としたときにX、Yがみたす式(どんな図形上にあるか)を求めたいのですが、うまくいきません。 私はまず交点のx座標をα、βとおいて、これは(x-2)^2+y^2=1にy=axを代入した2次式 (a^2+1)x^2-4x+3=0の2解となるから、解と係数関係からα+β=4/(a^2+1)、 よってy=ax上の2点A、Bのy座標はaα、aβとなるので、中点P(X,Y)について X=(α+β)/2=2/(a^2+1)、 Y=(aα+aβ)/2=2a/(a^2+1) として、aを消そうにも消せなくなりました。何が悪いのでしょうか?教えてください。あ、でも図形的に考えるのではなくあくまでこの方針でまずはお願いします。長くてすみません。

noname#128428
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X=2/(a^2+1) Y=aX a^2=2/X-1 Y^2=a^2X^2 Y^2=(2/X-1)X^2=2X-X^2 (X-1)^2+Y^2=1

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質問者からのお礼

そういえばPもy=ax上でしたね…ありがとうございました。

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