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こんばんは。数?の問題について教えてください。

こんばんは。数?の問題について教えてください。 原点Oからの放物線y=x^2+ax+bに引いた2本の接線の接点をP,Qとする。(b>0、Pのx座標<Qのx座標) 線分PQと放物線およびy軸で囲まれた図形の面積をS1、線分PQと放物線およびy軸で囲まれた図形の面積をS2とするとき、S1とS2との比を求めよ 式まで書いていただけるとうれしいです; よろしくお願いします。

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  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

> 線分PQと放物線およびy軸で囲まれた図形の面積をS1、線分PQと放物線およびy軸で囲まれた図形の面積をS2とするとき、S1とS2との比を求めよ S1もS2も「線分PQと放物線およびy軸で囲まれた図形の面積」となっています。 該当する図形は2つ存在しますが、どちらがS1でどちらがS2でしょうか? まずは放物線と接線の交点の座標を求めます。 とりあえず、放物線と接線の接点のx座標をtとおきます。 すると接点の座標は(t, t^2 + at + b)とおけます(y座標は放物線の式から算出)。 よって接線の方程式は y - (t^2 + at + b) = (接線の傾き)(x - t) とおけます (点(a, b)を通る直線の式は、傾きをkとおくとy - b = k(x - a)で表されます。 この話は数2の「図形と方程式」で習っていると思います)。 接線の傾きは微分して出せば良いですね。 f(x) = x^2 + ax + bをxで微分してf'(x)を求め、 座標(t, t^2 + at + b)における接線の傾きf'(t)を求めましょう。 あとは求めたf'(t)を y - (t^2 + at + b) = (接線の傾き)(x - t) の式の(接線の傾き)に代入してください(これをとりあえず式1とします)。 問題文中に「原点Oから放物線y = x^2 + ax + bに向かって接線を引く」と書かれているので、 先ほど式1も点(0, 0)を通ることになります。 なので式1にx = 0, y = 0を代入しても等号が成立します。 式1にx = 0とy = 0を代入すると、 tの値がa, b, 数字を用いて表現されます。 これでtの値の算出は終了です。 tが求まったということは、放物線と接線の接点の座標が全部求まったことになります。 あとは地道に積分して面積の比を考えれば良いと思います。 余談ですが、今回のお話と似た場面で使える公式があった気がします。

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質問者からのお礼

ありがとうございました! 一番これだ!ときたのでベストアンサーに選ばせていただきます@@ 遅れてすみませんでした;w;

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  • 回答No.3
  • info22
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線分PQと放物線およびy軸で囲まれた図形の左側、右側の面積を それぞれS1,S2とおく。 接線を y=mx とおき、放物線に接する条件からmを求めると mq=a-2√b(<0),mq=a+2√b(>0) P,Qのそれぞれのx座標は-√b,√b, 接線OP,OQの方程式はそれぞれ y=(a-2√b)x, y=(a+2√b)x S1=∫[-√b,0] x^2+2(√b)x+b dx S2=∫[0,√b] x^2-2(√b)x+b dx この積分を行ってS1,S2を求めて比をとれば良い。 。。。 その結果 S1:S2=1:1 が出てくれば良いかと思います。 ご自分でやってチェックしてみてください。

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質問者からのお礼

遅くなりました>< ありがとうございます! 回答なんとか出ました

  • 回答No.2
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

式だけ書いておきます。 f(x)=x^2+ax+b とおくと、x=pでの接線の式は、 y=f'(p)(x-p)+f(p)=f'(p)x-pf'(p)+f(p) この接線が原点を通るということは、 y切片=-pf'(p)+f(p)=0 これを解くと、PとQのx座標が分かります。 それを、p,qとすると、 直線PQの式は、 y=(f(q)-f(p))(x-p)/(q-p)+f(p) 直線PQのy切片をrとすると、 r=(qf(p)-pf(q))/(q-p) 線分PQと放物線で囲まれた面積のうち、y軸の左側をS1、右側をS2とすると、 S1=(-p)(f(p)+r)/2-∫[p~0]f(x)dx S2=q(r+f(q))/2-∫[0~q]f(x)dx

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質問者からのお礼

遅くなってすみません なんとか回答までたどり着きました 何パターンもあって頭よくなった気がします>< ありがとうでした!

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