面積の問題

質問

高校２年生ものです。
ある問題集に以下のようなものがありました。

放物線y = x^2 の上を動く2 点P，Q があって，この放物線と線分PQ が囲む部分の面積が常に1 であるとき，PQ の中点R が描く図形の方程式を求めよ。

P,Qのx座標をそれぞれp,qとすると、面積が1だから(q-p)^3=6という式が成り立ち、Rはx=(p+q)/2,y=(p^2+q^2)/2
x=(p+q)/2を変形していくとpq=2x^2-y
とまでは考えましたが、そこからどうやったらいいかわかりません。
どなたか教えてください。

回答No.3

kumipapa

うーん、なぜ pq = 2x^2 - y とわざわざ変形したのでしょうか？
点R(x,y) = ( (p+q)/2, (p^2+q^2)/2 ) かつ (q - p)^3 = 6 まで来た時点で、あとは p,q を消去するだけ。そのためには、(可能ならば）p,q を x で表してyの式に代入するだけなのですから、目的に向かってまっすぐ進めば
(q - p)^3 = 6 より 6^(1/3) = α とおいて q = p + α
x = (p + q)/2 = p + α/2
p = x - α/2
q = x + α/2
∴
y = {(x - α/2)^2 + (x + α/2)^2 }/2 = x^2 + (α^2)/4

ごちゃごちゃ式をいじって方向を見失わないようにしませう。

回答No.2

take_5

＞図形の方程式を求めよ。

“方程式を求めよ”という設問なら軌跡の限界に触れる必要は無いが、“軌跡を求めよ”という設問なら軌跡の限界に触れておく必要がある。

回答No.1

Quattro99

pq=2x^2-yまででましたから、pqを消せればよいわけです。

(q-p)^3=6
p-q=6^(1/3)=aとします。
(p-q)^2=(p+q)^2-4pq=a^2
pq={(p+q)^2-a^2}/4
となります。
p+q=2xですから、
pq={(2x)^2-a^2}/4=2x^2-y
あとは整理すれば求まると思います。