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面積の問題

高校2年生ものです。 ある問題集に以下のようなものがありました。 放物線y = x^2 の上を動く2 点P,Q があって,この放物線と線分PQ が囲む部分の面積が常に1 であるとき,PQ の中点R が描く図形の方程式を求めよ。 P,Qのx座標をそれぞれp,qとすると、面積が1だから(q-p)^3=6という式が成り立ち、Rはx=(p+q)/2,y=(p^2+q^2)/2 x=(p+q)/2を変形していくとpq=2x^2-y とまでは考えましたが、そこからどうやったらいいかわかりません。 どなたか教えてください。

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みんなの回答

  • 回答No.3

うーん、なぜ pq = 2x^2 - y とわざわざ変形したのでしょうか? 点R(x,y) = ( (p+q)/2, (p^2+q^2)/2 ) かつ (q - p)^3 = 6 まで来た時点で、あとは p,q を消去するだけ。そのためには、(可能ならば)p,q を x で表してyの式に代入するだけなのですから、目的に向かってまっすぐ進めば (q - p)^3 = 6 より 6^(1/3) = α とおいて q = p + α x = (p + q)/2 = p + α/2 p = x - α/2 q = x + α/2 ∴ y = {(x - α/2)^2 + (x + α/2)^2 }/2 = x^2 + (α^2)/4 ごちゃごちゃ式をいじって方向を見失わないようにしませう。

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  • 回答No.2
  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)

>図形の方程式を求めよ。 “方程式を求めよ”という設問なら軌跡の限界に触れる必要は無いが、“軌跡を求めよ”という設問なら軌跡の限界に触れておく必要がある。

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  • 回答No.1

pq=2x^2-yまででましたから、pqを消せればよいわけです。 (q-p)^3=6 p-q=6^(1/3)=aとします。 (p-q)^2=(p+q)^2-4pq=a^2 pq={(p+q)^2-a^2}/4 となります。 p+q=2xですから、 pq={(2x)^2-a^2}/4=2x^2-y あとは整理すれば求まると思います。

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