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座標平面上において、放物線y=x^2上に異なる2点
座標平面上において、放物線y=x^2上に異なる2点P,Qをとり、線分PQの中点をMとし、Mの座標を(a, b)とする。 (1) a=1, b=3のとき、線分PQの長さPQを求めよ。 (2) PQ=4の とき、b を a の式で表せ。 (3) PQ=4を満たしながらP, Qを動かすとき、b の最小値を求めよ。 (1)のPQが2√10になるのはわかりました。
- yuichiro814
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- staratras
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No.3です。追加させてください。 (2)で、b=a^2+4/(4a^2+1) と計算できれば、相加平均と相乗平均の関係を使ってbの最小値を求めることもできます。 4a^2+1=A とおけば、b=A/4-1/4+4/A=A/4+4/A-1/4 A>0 だから、相加平均と相乗平均の関係から、A/4+4/A≧2√(A/4)(4/A)=2 したがって、b≧2-1/4=7/4 ただし等号はA/4=4/A つまり A=4, 4a^2+1=4, a=±√3/2 のとき。
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- 回答No.3
- staratras
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この問題は順を追って(２)の式から(３)を求めように誘導していますが、放物線の性質を使えば(３)の結果は直接わかります。一種の検算にもなるので参考まで。 y=x^2のグラフはy軸に対称なので、a≧0の範囲で考えても一般性を失いません。 放物線y=x^2上のすべての点は、この放物線の焦点F（0,1/4)と準線y=-1/4からの距離が等しいので、P,Q,Mから準線にそれぞれ垂線PP',QQ',MM'を下ろすと、PP'=PF,QQ'=QF です。またMはPQの中点なので、MM'=(PP'+QQ')/2=(PF+QF)/2 …(1) です。 b=MM'-1/4 なので、bが最小となるのはMM’が最小となるときで、これは(1)からPF+QFが最小となるときです。ここで三角形(または直線)PQFを考えると、PF+QF≧PQ=4 で等号はP,Q,Fが一直線上にあるときです。 このとき(1)からMM'=2となるので、b=2-1/4=7/4 bの最小値は7/4です。
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- spring135
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P(p,p^2),Q(q,q^2),PQの中点M(a,b)とすると p+q=2a (1) p^2+q^2=2b (2) 3平方の定理より PQ^2=(p-q)^2+(p^2-q^2)^2=(p-q)^2[1+(p+q)^2] (3) (2)(1)より 2b=p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=4a^2-2pq pq=2a^2-b (4) (3)に(1),(4)を用いて PQ^2=(p-q)^2[1+(p+q)^2]=[(p+q)^2-4pq][1+(p+q)^2] =[4a^2-4(2a^2-b)][1+4a^2]=4(b-a^2)(1+4a^2) (5) (1) a=1, b=3のとき、線分PQの長さPQを求めよ。 PQ^2=40,PQ=2√10 (2) PQ=4の とき、b を a の式で表せ。 (5)より PQ^2=4(b-a^2)(1+4a^2)＝16 b=a^2+4/(4a^2+1) (6) (3) PQ=4を満たしながらP, Qを動かすとき、b の最小値を求めよ。 (6)より 4a^4-(4b-1)a^2-(b-4)=0 (7) a^2に関する２次方程式とみて2根とも負になる条件以外の条件からbの範囲を求める。 D=(4b-1)^2+16(b-4)=16b^2+8b-63≧0 (8) 2根とも負になる条件は ２根の和＝(4b-1)/4<0 (9) ２根の積＝-(b-4)/4>0 (10) (9),(10)を満たすのはb<1/4 よって少なくとも１個の正の根を有するためには b≧1/4 (12) を必要条件とする。 (8)は因数分解できて (4b-7)(4b+9)≧0 b≧7/4またはb≦-9/4 (13) (12)、(13)を満たすのは b≧7/4 bの最小値は7/4である。 もし微分を知っているなら(6)においてbをaの関数とみて微分し極値から 最小値を求めることができる。（グラフをかくこと） これからもbの最小値は7/4であることを確認してある。
- 回答No.1
- DJ-Potato
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PとQの座標をP(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)とおくと、 Yp = Xp^2 Yq = Xq^2ですね。 a = (Xp + Xq) / 2 b = (Xp^2 + Xq^2) / 2 となるので、 4a^2 - 2b = 2XpXq 三平方の定理より PQ^2 = (Xp - Xq)^2 + (Xp^2 - Xq^2)^2 = (Xp - Xq)^2 + (Xp + Xq)^2(Xp - Xq)^2 = (Xp - Xq)^2(1+(Xp + Xq)^2) = (Xp^2 + Xq^2 - 2XpXq)(1+ (Xp + Xq)^2) = (2b - 4a^2 + 2b)(1+4a^2) = 4(b-a^2)(1+4a^2) こんな感じでどうでしょう？
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