軌跡の問題です

質問

2000年津田塾大学の過去問です。

放物線y=x2(xの2乗)上の2点P(a,a2)、Q(b,b2)がb=a+2を満たしながら動くとする。このとき、線分PQの中点の軌跡の方程式を求め、そのグラフをかけ。

線分PQの中点をR(x,y)とおくと考えて
x=a+b/2 y=a2+b2/2
と考え、b=a+2を上の式に代入して考えてみたのですが、その後がよく分からなくなってしまいました。
その後の回答の仕方を教えてください。

ちなみに中点の軌跡だからy=x2のグラフと同じ形と考え、最小値を求めてそれを式に表すという方法ではだめでしょうか？

回答No.2

narucross · ベストアンサー

x=a+b/2={a+(a+2)}/2=a+1
y=(a^2+b^2)/2={a^2+(a+2)^2}/2=a^2+2a+2=(a+1)^2

…とここまで書きました。
bは消去できたんですがaが残ったままになってしまいました…。

当たり前です。xとyはaを媒介変数として、どのように動くかを規定されているわけですから。
だから、xとyを直接結び付ける式、すなわち軌跡を示す式を求めたければ、aを消去してxとyのみの関係式を導けばいいのです。あと一息のところまで解答できているのに・・・

a=x-1と変形して、これをy=・・・の式に代入します。
これだけです。計算はいけると思います。

ちなみに、軌跡の問題は媒介変数を消去する際に文字に条件がついてきたりして、軌跡の図形に除外点が出てくることがよくあります。この問題はあてはまりませんが、参考までに。

お礼

なるほど!!
変形すればよかったのですね…。そうすればaだけが残ってしまうということもなく解けますね!!!

細かい説明まで書いていただきありがとうございました。
おかげでとてもよくわかりました。

回答No.1

info22

やったところまでの解答を補足に書いてください。

そうすれば、チェックをして、その先をアドバイスします。

ヒント）
x=(a+b)/2 y=(a^2+b^2)/2
からb=a+2の関係を使って、a,bを消去すればx,yの関係式が出てきます、
それが軌跡の方程式になります。

＞ちなみに中点の軌跡だから…
これ以降の記述は邪道ですから書かなかったことにして忘れてください。
（テストで書けば分かっていないとして減点になるだけです。）

補足

回答ありがとうございます。
やったところまでの解答を書きます。

x=a+b/2、y=(a^2+b^2)/2にb=a+2を代入して

x=a+b/2={a+(a+2)}/2=a+1
y=(a^2+b^2)/2={a^2+(a+2)^2}/2=a^2+2a+2=(a+1)^2

…とここまで書きました。
bは消去できたんですがaが残ったままになってしまいました…。