教科書の説明＞＿＜ （軌跡と双曲線＞＿＜！！）

質問

原点Ｏを通る傾きｍの直線が、２直線ｘ＋ｙ＝２、ｘ－ｙ＝２と交わる点をＰ．Ｑとし、線分ＰＱの中点をＲとする。ｍが変わるとき、点Ｒの軌跡を求めよ。

＜教科書の解答＞
ｘ＋ｙ＝２（１）ｘ－ｙ＝２（２）ｙ＝ｍｘ（３）
（１）、（３）の交点Ｐのｘ座標は２/（ｍ＋１）
（２）、（３）の交点Ｑのｘ座標は２/(１－ｍ）
である。ただしｍ≠±１として。

Ｒは線分ＰＱの中点であるから、Ｒ（Ｘ，Ｙ）とすると
Ｘ＝1/2（２/(m+1) ＋２/(1-m)
∴Ｘ＝２/(1-m＾2)　（４）

またＲは直線（３）上にあるので　
Ｙ＝ｍＸ（５）
（４）（５）からｍを消去する。
まず（４）からＸ≠０となるので、
（５）からｍ＝Ｙ/Ｘ
これを（１－ｍ＾2)Ｘ＝２に代入して
（１－Ｙ＾２/Ｘ＾２）Ｘ＝２

∴Ｘ＾２－Ｙ＾２＝２Ｘ（Ｘ≠０）　（６）

よって、中点の軌跡は双曲線
（x－１）＾２－y＾２＝１（ｘ≠０）

＜質問です＞＿＜＞
最後の部分で、Ｘ＾２－Ｙ＾２＝２Ｘ（Ｘ≠０）　（６）となったまでは解ったのですけど、
そのあと、どうやったら小文字のｘの式
（ｘ－１）＾２－ｙ＾２＝１（ｘ≠０）の式が
得られるのでしょうか？？？どこかに代入をしてるのでしょうか？

回答No.2

debut · ベストアンサー

最後の式　Ｘ＾２－Ｙ＾２＝２Ｘ（Ｘ≠０）　を平方完成して、Ｘをｘに
Ｙをｙに置き換えることで得られます。

「軌跡の式を求めるときに普通にやる方法なのですが、ある条件を満たし
　ながら動く点Ｐの軌跡を求めるとき、Ｐの座標を（Ｘ，Ｙ）とおいて、
　例えば計算の結果が　Ｙ＝２Ｘ－１　とかなったとすると、これは
　傾き２、切片－１の直線を表すので、一般的な形　ｙ＝２ｘ－１　の
　ように小文字で表しても同じことです。だから、Ｘ，Ｙとして求まった
　式の大文字を一般的な小文字に置き換えるということを最後にします。」

「・・」内のことは知っていたら無視してください。

お礼

いつも、返事書いてくれて、どうもありがとうございます！！「・・」内のことは、教科書にちょっと難しく書いてあったので＞＿＜意味が解らなかったのですけど、今回debutさんのおかげで理由がわかりました！！
本当にどうもありがとうございました！！！！！！！！

回答No.3

oyaoya65

◎中点R(X,Y)の座標の組の関係式が、小文字の軌跡の式にに置き換えられる理由

中点Rの座標(X,Y)は任意の点としていますので、
中点RのX座標とY座標の間に
Ｘ＾２－Ｙ＾２＝２Ｘ（Ｘ≠０）◆
の関係があるということは同じ形式の曲線
x^2-y^2=2x(x≠０)■
にR点の座標(X,Y)を代入すると◆の関係式が成り立っていますので■の式が成り立つ。(X,Y)の組は◆を満たす任意の点ですね。
つまり、任意の点R(X,Y)はすべて曲線■上の点であるということです。
言い換えれば、R点の軌跡は■ということです。
■の式は簡単に
（x－1)^2－ｙ^2＝１（x≠０）
に変形できますね。

お礼

いつも返事書いてくれて、本当にありがとうございます！！　すごく参考になってます＞＿＜！！　本当にありがとうございました！！！！！！！！

回答No.1

mmmma

2Xを移項してX^2-2X-Y^2=0

両辺に1を足すとX^2-2X+1-Y^2=1

X^2-2X+1の部分って見覚えありますよね。

因数分解すると…です。

お礼

返事書いてくれてありがとうございました！！
やっとわかりました！！どうもありがとうございました！！