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双曲線と軌跡

2x^2-y^2=1と直線x-2y+t=0との共有点をP.Qとする時、線分PQの中点の軌跡を求めよ この問題解けません誰か教えてください。 まずわたしは、双曲線2x^2-y^2=1を変形して x^2/ (1/2) ーy^2/1 =1 としました。 この問題に関係あるかわからないですけど>_< そしたら焦点が求まるので、 C^2=a^2+b^2 より C=±√5/2 となりました。 あと、漸近線も2x^2-y^2=0として、 y=±√2xが得られました。 これで大体図をノートに書きました。 つぎにx-2y+t=0との共有点を求めないと駄目なので、双曲線の式に代入しました。 そしたら、 7y^2-8yt+2t^2-1=0 という、ちょっと複雑に文字が入った式が得られました。 このあと、どうしたらよいのかわかりません。 線分PQの軌跡はどうやったら求まるのでしょうか?? 宜しくお願いします。。

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式7y^2-8yt+2t^2-1=0がどのようにして求まったのか もう一度考えてみましょう。 これは、曲線の式に直線の式を変形(x=2y-t)して代入したので すよね。つまり、式7y^2-8yt+2t^2-1=0は、曲線と 直線の共有点P,Qだけで成立っている式なのです。これはyについての 方程式であって、曲線などの関数ではないことに注意してください。 だから、 >7y^2-8ty+2t^2-1=0の >共有点の座標 という言い方はできません。 従って、式7y^2-8yt+2t^2-1=0の解をα、βをすると、 α、βは式7y^2-8yt+2t^2-1=0に代入すれば当然ながら =0が成り立つし、曲線の式2x^2-y^2=1や直線の式x-2y+ t=0に代入すれば、P,Qのx座標が求まります。 不明な点があったらどうぞ。

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質問者からのお礼

わかりました! いつも、返事書いて頂いて本当に助かってます>_<。 本当に、どうもありがとうございました!!

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>7y^2-8yt+2t^2-1=0 D/4=16t^2-7(2t^2-1)=2yt^2+7>0で常に2実根を持ちます。 上式の2根をα、β(α<β)とすると 根と係数の関係から α+β=8t/7 このα,βはP点とQ点のY座標ですから 線分PQの中点M(X,Y)のY座標は Y=(α+β)/2=4t/7....(1) XはこのYを x-2y+t=0 に代入すると求まり X=2Y-t=8t/7-t=t/7...(2) (1)と(2)からtを消去すれば 中点M(X,Y)のX座標とY座標の間の関係がでます。 その関係式が中点の軌跡の式になります。 tの消去から以降はご自分でできますね。

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質問者からのお礼

教えてもらった、判別式を使って、ノートに書いてみたら、わかりました!! >_< 返事いつも書いて頂いて、本当にどうもありがとうございます!! ありがとうございました!!!!

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>線分PQの軌跡はどうやったら求まるのでしょうか??   これは、正しくはPQの中点の軌跡ですね。 7y^2-8ty+2t^2-1=0の2つの解をα、βとします。 (つまり、α、βは共有点のy座標と言うことです。) すると、共有点の座標は、直線x-2y+t=0をちょっと変形すると x=2y-tだから、これにy=α、y=βを代入して、  P(2α-t、α)とQ(2β-t、β)とすることができます。 すると、PQの中点の座標は([2α-t+2β-t]/2、[α+β]/2)・・(1) となります。※2点の中点の座標を求める公式より ところで、α、βは7y^2-8ty+2t^2-1=0の解だったから、解と 係数の関係より、α+β=8t/7・・(2) と表せます。 中点を(X,Y)とすれば (1) (2) のことから座標をtだけを使って表す ことができます。するとそこから、X=・・・、Y=・・・と式が作れて、 この2式からtを消去してX,Yをx、yに書き換えればOKです。 不明な点があればどうぞ。

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質問者からの補足

⇔<質問です> 7y^2-8ty+2t^2-1=0の解αとβは、 直線x-2y+tの共有点だと思います。 だって、x-2y+tを始めに双曲線の式に代入して二つの共有点を求めてるからです。 でも逆に考えると、この解αとβは、 x-2y+t=0の直線の式のy座標に代入した時、 その求まった(x、y)=(2αーt、α) この座標は 7y^2-8ty+2t^2-1=0の 共有点の座標でもあるんですか??? >_< 7y^2-8ty+2t^2-1=0の式は 文字が沢山あるので、この式から 解を求めるのが困難なので、 この解を、αとβとして、 これを直線の式に代入してると思いました。 でも反対にこの直線の式にαとβを入れて求まった xとy座標は、7y^2-8ty+2t^2-1=0の式の共有点と考えてもOKでしょうか?!>_< ごめんなさい、簡単なことかもしれません>_<

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