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双曲線と軌跡
２ｘ＾２－ｙ＾２＝１と直線ｘ－２ｙ＋ｔ＝０との共有点をＰ．Ｑとする時、線分ＰＱの中点の軌跡を求めよ この問題解けません誰か教えてください。 まずわたしは、双曲線２ｘ＾２－ｙ＾２＝１を変形して ｘ＾２/ (1/2) ーｙ＾２/１ ＝１ としました。 この問題に関係あるかわからないですけど＞＿＜ そしたら焦点が求まるので、 Ｃ＾２＝ａ＾２＋ｂ＾２ より Ｃ＝±√５/２ となりました。 あと、漸近線も２ｘ＾２－ｙ＾２＝０として、 ｙ＝±√２ｘが得られました。 これで大体図をノートに書きました。 つぎにｘ－２ｙ＋ｔ＝０との共有点を求めないと駄目なので、双曲線の式に代入しました。 そしたら、 ７ｙ＾２－８ｙｔ＋２ｔ＾２－１＝０ という、ちょっと複雑に文字が入った式が得られました。 このあと、どうしたらよいのかわかりません。 線分ＰＱの軌跡はどうやったら求まるのでしょうか？？ 宜しくお願いします。。
- nana070707
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- oyaoya65
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＞７ｙ＾２－８ｙｔ＋２ｔ＾２－１＝０ D/4＝16t^2－7(2t^2-1)＝2yt^2+7＞0で常に２実根を持ちます。 上式の2根をα、β（α＜β）とすると 根と係数の関係から α＋β＝8t/7 このα,βはP点とQ点のY座標ですから 線分PQの中点M(X,Y)のY座標は Y=(α＋β)/2＝4t/7....(1) XはこのYを ｘ－２ｙ＋ｔ＝０ に代入すると求まり X＝2Y－t＝8t/7－t＝t/7...(2) (1)と(2)からtを消去すれば 中点M(X,Y)のX座標とY座標の間の関係がでます。 その関係式が中点の軌跡の式になります。 tの消去から以降はご自分でできますね。
お礼
教えてもらった、判別式を使って、ノートに書いてみたら、わかりました！！ ＞＿＜ 返事いつも書いて頂いて、本当にどうもありがとうございます！！ ありがとうございました！！！！
- debut
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＞線分ＰＱの軌跡はどうやったら求まるのでしょうか？？ これは、正しくはＰＱの中点の軌跡ですね。 ７ｙ^2－８ｔｙ＋２ｔ^2－１＝０の２つの解をα、βとします。 （つまり、α、βは共有点のｙ座標と言うことです。） すると、共有点の座標は、直線ｘ－２ｙ＋ｔ＝０をちょっと変形すると ｘ＝２ｙ－ｔだから、これにｙ＝α、ｙ＝βを代入して、 Ｐ（２α－ｔ、α）とＱ（２β－ｔ、β）とすることができます。 すると、ＰＱの中点の座標は（[２α－ｔ＋２β－ｔ]/２、[α＋β]/２）・・(1) となります。※２点の中点の座標を求める公式より ところで、α、βは７ｙ^2－８ｔｙ＋２ｔ^2－１＝０の解だったから、解と 係数の関係より、α＋β＝８ｔ/７・・(2) と表せます。 中点を（Ｘ，Ｙ）とすれば (1) (2) のことから座標をｔだけを使って表す ことができます。するとそこから、Ｘ＝・・・、Ｙ＝・・・と式が作れて、 この２式からｔを消去してＸ，Ｙをｘ、ｙに書き換えればＯＫです。 不明な点があればどうぞ。
補足
⇔＜質問です＞ ７ｙ^2－８ｔｙ＋２ｔ^2－１＝０の解αとβは、 直線ｘ－２ｙ＋ｔの共有点だと思います。 だって、ｘ－２ｙ＋ｔを始めに双曲線の式に代入して二つの共有点を求めてるからです。 でも逆に考えると、この解αとβは、 ｘ－２ｙ＋ｔ＝０の直線の式のｙ座標に代入した時、 その求まった（ｘ、ｙ）＝（２αーｔ、α） この座標は ７ｙ＾２－８ｔｙ＋２ｔ＾２－１＝０の 共有点の座標でもあるんですか？？？ ＞＿＜ ７ｙ＾２－８ｔｙ＋２ｔ＾２－１＝０の式は 文字が沢山あるので、この式から 解を求めるのが困難なので、 この解を、αとβとして、 これを直線の式に代入してると思いました。 でも反対にこの直線の式にαとβを入れて求まった ｘとｙ座標は、７ｙ＾２－８ｔｙ＋２ｔ＾２－１＝０の式の共有点と考えてもＯＫでしょうか？！＞＿＜ ごめんなさい、簡単なことかもしれません＞＿＜
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わかりました！ いつも、返事書いて頂いて本当に助かってます＞＿＜。 本当に、どうもありがとうございました！！