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数学 軌跡

円C:(x-2)2乗+y2乗=2 直線E:y=gx(gは実数の定数)について (1)円Cと直線Eが異なる2点PQで交わる時、gの取りうる値の範囲を求めよ。 (2) (1)の時、線分PQの中点が描く軌跡を求めよ。 解説お願いします( ; ; )

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  • gohtraw
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y=gxを円Cの式に代入して (x-2)^2+g^2x^2=2 (g^2+1)x^2-4x+2=0 ・・・(あ) CとEが異なる二点で交わるということは、xの二次方程式(あ)が異なる二つの実数解を 持つということです。よって判別式D>0とおいてgについて解けばOKです。 D=16-8(g^2+1)  =8-8g^2>0 g^2<1 よって -1<g<1 点PおよびQのx座標は、二次方程式(あ)を解くことにより求められますが、 線分PQの中点(Rとします)のx座標は(あ)の二つの解の平均になります。(あ)の二つの解を (a±√b)/c とすると、これらの平均はa/cですから、Rのx座標は x=4/(2(g^2+1))=2/(g^2+1) となります。これをgについて解くと x(g^2+1)=2 xg^2=2-x g=±√((2-x)/x) ・・・(い) Rは直線E上の点なので(い)をEの式に代入して y=±x√((2-x)/x)  =±√(x(2-x)) y^2=-x^2+2x (x-1)^2+y^2=1 ・・・(う) ここで x(g^2+1)=2 であり -1<g<1 なので、x=2/(g^2+1) なのでxの範囲は1<x<2となりそうですが、x=2、y=0の時も条件は満たされるので 1<x<=2がxの範囲となります。よって求める軌跡は、 (1,0)を中心とする半径1の円周のうち、1<x<=2の部分 ということになります。

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質問者からのお礼

ありがとうございます! 軌跡、とてもよく分かりました(*^^*)

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  • 回答No.3
  • gohtraw
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#1です。しまった。嘘書いた。 -1<g<1より素直に1<x<=2としていいのだった。

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  • 回答No.2
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

(1) 円Cは中心(2,0),半径√2の円だから、直線E:gx-y=0が円Cと2点P、Qで交わるための条件は、「円Cの中心(2,0)と直線Eとの距離dが円Cの半径未満であること」であるから d=|g*2-0|/√(g^2+1)<√2 2g/√(g^2+1)<√2 4(g^2)/(g^2+1)<2 2g^2<g^2+1 g^2<1 ∴-1<g<1 ...(A) ← 答え (2) 点P(p,gp),Q(q,gq)は連立方程式の2実解から得られる。 (x-2)^2+y^2=2 ...(B) y=gx ...(C) (B),(C)から (1+g^2)x^2-4x+2=0 ...(D) (1)で求めた-1<g<1の範囲で 判別式D/4=4-2(1+g^2)=2(1-g^2)>0 成り立っているから異なる2実解をもつ。 解と係数の条件から p+q=4/(1+g^2)...(E), pq=2/(1+g^2) ...(F) (-1<g<1) 線分PQの中点Mの座標を(x,y)とすると x=(p+q)/2=2/(1+g^2) ...(G), y=(gp+gq)/2=2g/(1+g^2) ...(H) (G),(H)からgを消去して x^2+y^2=4/(1+g^2)=2x (x-1)^2+y^2=1 ...(I) (A)なので(G)から ∴1<x≦2 ...(J) PQの中点(x,y)の軌跡は(I),(J)より  (x-1)^2+y^2=1 (1<x≦2) ←答え

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