数学の問題！円と直線の関係を解明
- 円C:x^2+y^2=9と直線l:y=－2x＋3を考える。線分PQの中点Mの軌跡C'を求め、その半径と中心の座標を求める問題
- 問題(1)で得られたC'の中心の軌跡の方程式を求める問題
- 円C'と問題(1)で得られた円C'が外接するときのtの値を求める問題
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数学の問題です
この問題がわかりません(´-ε-｀;) 座標平面上の円C:x^2+y^2=9と直線l:y=－2x＋3を考える。 tを実数とし、直線l上に点P(t,－2t＋3)をとる。 (1)点Ｑ(u,v)が円C上を動くときの線分PQの中点Mの軌跡C'を考える。ただし、もし2点P,Qが一致するならば、その一致する点をMとする。こうして得られるC'は円となる。C'の半径の値を求め、中心の座標をtの式で表せ。 (2)点Pが直線l上を動くとき、(1)で得られたC'の中心の軌跡の方程式を求めよ。 (3)円C'と(1)で得られた円C'が外接するときのtの値を求めよ。 答えは (1)半径3/2、中心(t/2,-2t＋3/2) (2)y=－2t＋3/2 (3)t=6±6ルート11/5です。
- north1203
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（１） Ｍの座標を（ｍｘ、ｍｙ）とすると、これらは ２ｍｘ＝ｕ＋ｔ ２ｍｙ＝ｖ－２ｔ＋３ これらをｕ、ｖについて解くと ｕ＝２ｍｘ－ｔ ｖ＝２ｍｙ＋２ｔ－３ ｕ＾２＋ｖ＾２＝９なので （２ｍｘ－ｔ）＾２＋（２ｍｙ＋２ｔ－３）＾２＝９ （ｍｘ－ｔ／２）＾２＋（ｍｙ＋ｔ－３／２）－２＝９／４＝（３／２）＾２ これより、Ｃ’の中心は（ｔ／２、－ｔ＋３／２）であり、半径は３／２ （２） （１）の結果（Ｃ’の中心座標）よりｙ＝－２ｘ＋３／２ （３） ＣとＣ’が接するんですよね？このときＣの中心（原点）とＣ’の中心の 距離は両者の半径の和に等しいので、 （ｔ／２）＾２＋（－ｔ＋３／２）＾２＝（３＋３／２）＾２ これはｔの二次方程式になるのでそれを解いて下さい。
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