大至急、数学の面積の問題です。

質問

原点Ｏを中心とする半径aの円に糸がまきつけれられていて、糸の端は点Ａ(a,0)にあり、反時計回りにほどける。このとき糸をたわむことなくほどいていき、その糸と円の接点をＲとし、∠AOR=t(0≦t≦2π)とする。さらにほどかれた糸の端の座標をＰ(x,y)とする。
(1)xとyをtの関数で表せ。
(2)第一象限にあるPの軌跡と円および直線y=aで囲まれる部分の面積を求めよ

解法などもできれば詳しく教えていただけると嬉しいです。

回答No.4

info22_

#1,2,3です。

A#3の添付図の中の記述にミスがありましたので訂正します。

　誤：∠OAP=90°
　正：∠ORP=90°

回答No.3

info22_

#1,2です。

何も補足がないですね。

おまけです。理解に役立つかと思い図を描きましたので添付します。

回答No.2

info22_

#1です。

補足ありませんね。

では、A#1に続いて(2)の面積も求めておきますので、丸写ししないで、自身でフォローして計算しなおして理解するようにして下さい。

求める面積Sは
P(x,y)の軌跡曲線とy=aとx=0とx=aπ/2で囲まれた長方形領域の面積S1=a*(aπ/2)=πa^2/2
から
P(x,y)の軌跡曲線とy=0とx=aπ/2で囲まれた図形領域の面積S2を引いたものである。
S=S1-S2
=πa^2/2-∫[a,aπ/2]ydx
y=a(sin(t)-tcos(t)),x=a(cos(t)+tsin(t)),dx=at*cos(t)dt なので
S=πa^2/2-(a^2)∫[0,π/2] {sin(t)-tcos(t)}tcos(t)dt
={π(a^2)/2}-{π(a^2)(12-π^2)/48}
=π(12+π^2)(a^2)/48

[参考]
P(x,y)の軌跡曲線のy=aにおける接線を求めると
dx/dy=(dx/dt)/(dy/dt)=cot(t),dx/dy(y=a)=0、x(y=a)=aπ/2 より
接線「x=aπ/2」、接点(aπ/2,a)となります。

回答No.1

info22_

何処まで分かっていて、分からない箇所は何処ですか？
分かってるところまでの途中解を補足にどうぞ！

取敢えず(1)だけ。
(1)
R(a*cos(t),a*sin(t))
P(x,y)
z=x+iy=ae^it+ate^(it-iπ/2)
x=a*cos(t)+at*cos(t-π/2)=a*cos(t)+at*sin(t)
y=a*sin(t)+at*sin(t-π/2))=a*sin(t)-at*cos(t)