座標平面上の問題の解法は?

このQ&Aのポイント
  • 点Aと傾きmを通る直線lと円Cの関係や、円Cと半径rの円C1の関係について解法を教えてください。
  • 円C上を動く点Pの線分APの中点Qの軌跡の方程式を求める解法を教えてください。
  • 直線lの方程式を求める解法を教えてください。
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解法を教えてください

座標平面上に、円C: x^2+y^2=5, 点A(5,5)、および傾きがmで点Aを通る直線lがある。ただしmは定数である。 (1)点Aを中心とし、半径rである円をC1とする。CとC1が2点で交わるようなrの値の範囲を求めよ。 (2)点Pが円C上を動くとき、線分APの中点Qの軌跡の方程式を求めよ。 (3)直線lの方程式を求めよ。 (4)直線lが円Cに接するとき、mの値を求めよ。 (5)直線lが円Cによって切り取られる弦の長さが4であるとき、mの値を求めよ。 答えは (1)5√2-√5<r5√2+5 (2)(x-5/2)^2+(y-5/2)^2=5/4 (3)mx-y-5m+5=0 (4)m=1/2, 2 (5)m=3/4, 4/3

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(1) 円C の半径は √5 で、点A (5,5) と円Cの中心 (0,0) の距離は 5√2 である。 C1の半径が r = 5√2 - √5 の時 C と C1 は互いに外接する。 C1の半径が r = 5√2 + √5 の時 C は C1 に内接する。 よって 5√2-√5 < r < 5√2+√5■ (2) 点P を (p, q) とすると、円C上にある事から、  p^2+q^2=5 …(i) 点Q を (x, y) とすると、APの中点である事から、  x = (p+5)/2, y = (q+5)/2,  ∴p = 2x-5, q = 2y-5 …(ii) (i)を(ii)に代入して整理すると、  (x-5/2)^2+(y-5/2)^2=5/4■. (3) y=mx を (5,5) だけ平行移動すれば良い。  y-5 = m(x-5), …(iii)  ∴mx-y-5m+5=0■. (4) (iii)と C: x^2+y^2=5 から y を消去すると、  (m^2+1) x^2 +10m(1-m)x +25(1-m)^2 = 5. 接する時、交点は一つなので、上の二次方程式の判別式 D = 0 である。  D/4 = (5m(1-m))^2 - (25(1-m)^2-5)(m^2+1)   = -10(2m^2 -5m +2) = 0.  ∴m = 1/2, 2■. (5) Cの中心(原点)をOとし、交点の一つをXとし弦の中点をYとする。  ∠OYX = π/2,  XY = 弦の長さ/2 = 2,  OX = (Cの半径) = √5  OY = √(OX^2 - XY^2) = 1 (∵三平方の定理), つまり、直線 l は半径1の円 C2: x^2+y^2=1 に接する。 ここで (4)と同様に、円C2 と直線l の方程式を連立して y を消去すると、  (m^2+1) x^2 +10m(1-m)x +25(1-m)^2 = 1. 判別式 D = 0 を考えると、  D/4 = -2(12m^2-25m+12) = 0,  ∴m = 4/3, 3/4■.

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