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【問題】双曲線C:x^2-y^2=1と点A(2,0)がある。

【問題】双曲線C:x^2-y^2=1と点A(2,0)がある。 【1】点Aを通り、双曲線Cと1点のみで交わる直線の方程式を求めよ。(※解決済み)答:y=-x+2, y=x-2 【2】直線Lが点Aを通り、双曲線Cと2点P,Qで交わる。PQの中点Mの軌跡を求めよ。 よろしくお願いします。

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  • 回答No.1

こんばんわ。 2次曲線と戦ってますね ^^ 【2】のさわりだけ 直線Lは ・点Aを通る。⇒直線の傾きが未知数(媒介変数)になる。 ・双曲線Cと2点で交わる。 双曲線と直線の交点は、2次方程式の解として与えられるはずですね。 2次方程式をよく見ると、中点の座標を簡単に表すことができます。 中点は直線L上の点ですから、x座標だけわかれば表せますよね。 あとは、媒介変数を消せば・・・ですね。

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質問者からの補足

直線Lはどのようにあらわしたらいいのでしょうか?? ax+by+c=0といて点Aを通るからそれを代入して文字を一つけすのか…。 それともy=ax+bとおくのか…。。。 媒介変数は双曲線の場合x=a/cosθ,y=b*tanθというのは知っているのですが…どう使えばいいのかわかりません…。。。 もう少しヒントをください^^;

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  • 回答No.5

Mr_Hollandさん、フォローありがとうございます。 計算ぐらいは自分でやらないと、後に残らないと思ってる人なもので ^^; Mr_Hollandさんの(1)式、(2)式から導く方法として、次のような方法も。 (2乗してでも消してやる!のやり方です。) ・(1)式を k^2= (xの式)の形に変形します。 ・(2)式の両辺を 2乗すると、k^2だけの式に変形できます。 ・先の k^2= (xの式)を代入します。 これで同じ結果を得ることができます。 当然のことながら、計算途中で (分母)= 0を考慮しないといけないところがいくつかあります。 k= ±1のときですが、最初の 2次方程式に立ち返りましょう。 というよりも、「2次」方程式とみる時点で考慮しないといけないところです。 方程式は「1次」方程式のときもありますね。

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  • 回答No.4

 だいぶ苦労しているようですので、サポートさせてください。  (naniwacchiさん、お邪魔します。) >M{2k^2/(k^2-1)),2k/(k^2-1)}です。。。  ここまでくれば、あとは、naniwacchiさんが示されたように、中点Mの座標を(X、Y)とおき、媒介変数kを使って次のように表します。   X=2k^2/(k^2-1)   ・・・・・(1)   Y=2k/(k^2-1)    ・・・・・(2)  ここで、式(1)の右辺は少し簡単にできますので、次のように変形しておきます。   X=2 + 2/(k^2-1)  ・・・・・・(1’)  この式から 1/(k^2-1) と k(これは強引?に)を X で表します。   1/(k^2-1)=(X-2)/2   k=±√{X/(X-2)}  この2つの式を 式(2)に代入します。   Y=2×[±√{X/(X-2)}]×(X-2)/2    =±√{X(X-2)}    (複号任意)  ここで、複号を消すために両辺を2乗します。   Y^2=X(X-2)  ∴(X-1)^2-Y^2=1   ・・・・・☆  (なんと、双曲線Cを+x軸方向に1だけ平行移動したグラフになります。)  ちなみに、式(1’)、(2)から kを消去する方法ですが、 (X-1)^2 と Y^2 を計算すると ともに    4/(k^2-1)^2 + 4/(k^2-1) という項が出てくるので、ここから 式☆ の軌跡を得てもかまいません。(結果論的に見えるかもしれませんが。)  以上、失礼しました。

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  • 回答No.3

もう大詰めですよ。>_< 点Mの座標を(X, Y)として X= 2k^2/(k^2-1), Y= 2k/(k^2-1)から、kを消去します。(Xと Yの関係式にする) ある意味「無理やり」kを消去します。2乗してでも消してやる!ぐらいの気持ちでやればできますよ。 判別式から kの値に制限がないとわかりましたが、 双曲線と点Aの位置関係を見れば当然のことだということがわかりますね。

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質問者からの補足

k=±1のときが軌跡の限界ってことはわかりましたが… あれから軌跡をどうしても求められません… どのようにしたらいいですか??

  • 回答No.2

もっと素直に考えましょう。^^ 傾きが kで、点(2, 0)を通る直線の式はどう表すことができますか? いまの問題では、ここに出てくる「k」が媒介変数(パラメータ)になります。 kについては「2点で交わる」ことが条件となるので、当然「ある範囲であること」が条件として与えられるはずです。 式を整理してしまうと、2次方程式の問題になりますね。

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ありがとうございました('▽'*)ニパッ

質問者からの補足

直線Lをy=の形で表して双曲線の方程式に代入して、xについての2次方程式をつくり、まずは、(判別式)≧0としてみました。その結果、3k^2≧-1となりkはすべての実数においてなりたつことがわかりました!!! それからそのxについての2次方程式で解と係数との関係を用いて中点Mの座標を求めました。 M(x,y)とおいて、どうやってkを消去したらいいのですか?? ちなみに…M{2k^2/(k^2-1)),2k/(k^2-1)}です。。。

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