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数学の軌跡の問題

大学入試問題集の数学の軌跡の問題について質問です。 問題・・・ 座標平面上に2点O(0,0),A(2,4)と円;x^2+y^2=64がある、また、Pをこの円周上の点とし、2点P,Aを通る弦をPQとする。 点Pが円周上を動くとき、弦PQの中点をMとして、動点Mの軌跡の方程式を求めよ。 答え・・・弦PQは点A(2,4)を通るから、 a(x-2)+b(y-4)=0とおけ、 (1) PQの中点Mを通る直線OMは、bx-ay=0 (2)とおける。 (1)、(2)をみたす実数a.b(a^2+b^2≠0)が存在するためのx,yの条件を求める という流れなのですが、(a^2+b^2≠0)というのがどこからでたのかがわかりません。 あと、(1)と(2)の式は、中点Mをa,bとおくと、OMはbx-ay=0 ・・・(2) 中天MはOから直線PQにおろした垂線の足であるので、PQの傾きは-a/b. PQは点A(2,4)をとおるのでy=-a/b.(X-2)+4なのでa(x-2)+b(y-4)=0・・・(1) とおける。というやり方で導いたのですが、違いますでしょうか?

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>(a^2+b^2≠0)というのがどこからでたのかがわかりません。  直線の方程式をax+by+c=0とおくときにa,bに何か条件はありませんでしたか?  教科書や問題集などをよく読むと「a=b=0ではない」などと書かれていると思います。  このことを表現を変えて a^2+b^2≠0 と言っているのです。  なぜこの条件がつけられているのか。それはもしa=b=0だったら直線の方程式がどうなるのか考えてみると分かると思います。c=0という恒等式か、あるいは絶対に成立しない式になるでしょう。そうするとax+by+c=0を満たす点(x,y)の集合は直線にはならなくなってしまいます。 >あと、(1)と(2)の式は、中点Mをa,bとおくと、OMはbx-ay=0 ・・・(2) >中点MはOから直線PQにおろした垂線の足であるので、PQの傾きは-a/b. >PQは点A(2,4)をとおるのでy=-a/b.(X-2)+4なのでa(x-2)+b(y-4)=0・・・(1) >とおける。というやり方で導いたのですが、違いますでしょうか?  上記ではb≠0を前提としていますので、b=0のときについても成り立つことを示す必要があります。  それがなされていればOKです。

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質問者からのお礼

なるほど!!そういうことですか。 おかげで理解できました。ありがとうございました。

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