円 接線 軌跡

質問

mを正とし、円(x-3)^2 + (y-5)^2 = 11をC1、直線x-y-m=0をlとする
原点ＯからC1に引いた1つの接線の接点をQとする
このとき線分OQの長さは√23である
tを正の実数とし、円x^2 + y^2 = 1をC2とする
PからC1に引いた1つの接線の接点をQ1、PからC2に引いた1つの接線の接点をQ2とするとき、線分PQ1と線分PQ2の長さの比がt:1となるような点Pの軌跡をC3とする
C3が点(1,1)を通るときのtとこのときC3がどのような軌跡を描くかを求めよ

解き方を教えてください
検討がつきません

回答No.6

j-mayol · ベストアンサー

失礼！ルートの中身がどこまでかはっきりさせるための括弧が足りてませんでしたね。

円Ｃ１の中心をＣ１すると
三角形ＰＱ１Ｃ１は直角三角形だから三平方の定理を用いればいいだけですよ。
Ｐ（ｘ，ｙ)とＣ１（３，５）の距離　√｛（ｘ－３）＾２＋（ｙ－５）＾２｝
Ｃ１とＱ１の距離は円Ｃ１の半径だから√１１
てことはＰＱ１＝√（ＰＣ１＾２－Ｃ１Ｑ＾２）
　　　　　　　　＝√｛（ｘ－３）＾２＋（ｙ－５）＾２－１１｝
となります。ＰＱ２も同様にして求めてください。

補足

ようやくPQ1、PQ2が求まりました
（ｘ－３）＾２＋（ｙ－５）＾２－１１=9x^2 + 9y^2 -9
を解いて
ANO.3さんの通り半径√(145/32)になったのですが答えは√290/8となってしまいます
何が違うのでしょうか？

回答No.5

j-mayol

＞Ｐ（ｘ、ｙ）とおいてＰＱ１とＰＱ２の長さを求めるにはどうすればよいのでしょうか？

円Ｃ１の中心をＣ１すると
三角形ＰＱ１Ｃ１は直角三角形だから三平方の定理を用いればいいだけですよ。
Ｐ（ｘ，ｙ)とＣ１（３，５）の距離　√｛（ｘ－３）＾２＋（ｙ－５）＾２｝
Ｃ１とＱ１の距離は円Ｃ１の半径だから√１１
てことはＰＱ１＝√ＰＣ１＾２－Ｃ１Ｑ＾２
　　　　　　　　＝√（ｘ－３）＾２＋（ｙ－５）＾２－１１
となります。ＰＱ２も同様にして求めてください。

回答No.4

l_____________l

No3です。
No3の(5)式ですが、

√{(x-3)^2+(y-5)^2-11}＝９×√(x^2+y^2-1)　　　(5)　でなく、
√{(x-3)^2+(y-5)^2-11}＝３×√(x^2+y^2-1)　　　(5)　の間違いです(^^;)

右辺の最初は９ではなく３ですね。。

ただ、その後は式(5)の正しい方で計算しているのであっています。
No2さんと半径が違いますが、No2さん、最後の右辺の９を忘れていますよ・・・

補足

線分PQ1が、√{(x-3)^2+(y-5)^2-11}となるのはANO.6さんのおかげでわかりました
しかしANO.3で半径√(145/32)となっていますが答えは√290/8でした
実際自分でも計算してみましたが半径√(145/32)になってしまいます
何故でしょうか？

回答No.3

l_____________l

線分OQの長さを√23と求めるやり方はわかりますか？

C1の中心点をＡとすると、Ａの座標は(3,5)です。
ここで、原点ＯとＡ点とＱの３点からなる三角形ＯＡＱを考える。
Ｑは接点なので、この三角形は角Ｑを直角とする直角三角形。
線分ＯＡの長さは√(3^2+5^2)なので、√34、
線分ＡＱの長さはC1の半径なので、√11
従って線分ＯＱの長さは√(34-11)で√23となる。

これと同じように考えていきます。
ここで点Ｐの座標を (x, y) と置きます。

まず三角形PAQ1を考える。
これは、角Q1が直角になっている直角三角形。
線分PAの長さは、√{(x-3)^2+(y-5)^2}
線分AQ1の長さはC1の半径と同じなので√11
よって、線分PQ1は、√{(x-3)^2+(y-5)^2-11}　　　(1)
となる。

同様に三角形POQ2を考える。
これは、角Q2が直角になってる直角三角形。
線分POの長さは√(x^2+y^2)
線分OQ2の長さはC2の半径と同じなので１
よって、線分PQ2は、√(x^2+y^2-1)　　　　　　　　(2)
となる。

線分PQ1と線分PQ2の長さの比はt:1、
つまりPQ1の長さはPQ2のt倍に等しいので、このことと(1)式(2)式から
√{(x-3)^2+(y-5)^2-11}＝t^2×√(x^2+y^2-1)　　　(3)
が得られる。

ところで、(3)の(x, y)、つまり点Ｐは座標(1,1)を通るので、
x=1, y=1のときにも成り立つ。なので(3)式にx=1, y=1を代入すると

9＝t^2×1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

が得られ、tが３であることが求められる。
次に(3)式にt=3を代入すると、

√{(x-3)^2+(y-5)^2-11}＝９×√(x^2+y^2-1)　　　(5)

が得られる。√をなくすために、(5)式の両辺を二乗して式を整理すると

8x^2+6x+8y^2+10y-32=0　　　　　　　　　　　　　(6)

となり、(6)式の両辺を８で割ってから更に変形すると

(x + 3/8)^2 + (y + 5/8)^2 = 145/32　　　　　　　(7)

つまり、点Ｐの軌跡C3は、(-3/8, -5/8) を中心とする半径√(145/32)の円になります。

ところで、x-y-m=0なる直線lと正の数mは、この問題には何の関係もないですね。

補足

線分PAの長さは、√{(x-3)^2+(y-5)^2}
線分AQ1の長さはC1の半径と同じなので√11
までは分かりますが
よって、線分PQ1は、√{(x-3)^2+(y-5)^2-11}
となるのがわかりません
どういう計算をしたのですか？

回答No.2

info22_

PQ1:PQ2=t:1 より
PQ1=tPQ2　(t>0)…(1)

Pの座標をP(x,y)とすると3平方の定理より
PQ1=√((x-3)^2+(y-5)^2-11)
PQ2=√(x^2+y^2-1^2)
であるから(1)に代入
√((x-3)^2+(y-5)^2-11)=t√(x^2+y^2-1^2) (t>0)　…(2)
これが点P(x,y)の軌跡C3の式である。
（t=1の時、直線、t≠1の時、円になります。）

C3が点(1,1)を通るとき(2)から
√((1-3)^2+(1-5)^2-11)=t√(1^2+1^2-1^2) (t>0)
√(4+16-11)=t
∴t=3 ←（答え）

t=3のとき(2)から
((x-3)^2+(y-5)^2-11)=9(x^2+y^2-1^2)
-6x+9-10y+25-11=8x^2+8y^2-9
8x^2+6x+8y^2+10y=23
よってt=3の時の点P(x,y)の軌跡C3は
円C3:(x+(3/8))^2+(y+(5/8))^2=719/32 　←（答え）
これは中心(3/8,5/8),半径√(719/32)の円ですね。

補足

PQ1=√((x-3)^2+(y-5)^2-11)
となるのは何故ですか？

回答No.1

j-mayol

点Ｐの軌跡が（１，１）を通過するわけだからこのときにもＰＱ１：ＰＱ２＝ｔ：１は成り立っていますね。
ということは(１，１)から実際に２つの円に引いた接線の長さを求めればｔの値は求まりませんか？
これが求まった上で初めてＰ（ｘ、ｙ）とおいてＰＱ１とＰＱ２の長さをｘｙを用いてあらわし、求めたｔ：１との関係から等式に持ち込んでやれば軌跡の式が出てくると思いますがいかがでしょうか？

補足

図や三平方の定理より(1,1)から引いた線分の長さがもとまって
PQ1:PQ2=3:1と求まりました

Ｐ（ｘ、ｙ）とおいてＰＱ１とＰＱ２の長さを求めるにはどうすればよいのでしょうか？