数学 軌跡の問題です。

質問

数学　軌跡の問題です。

xy平面上に存在する円Cは、その方程式はx^2+y^2=1である。また、点A（3,3）、点B(5,1)があり、線分AB上の点Pは、AB間を動く（両端を含む）。点Pから円Cに引いた2本の接線の、接点同士を結んだ線分の中点Qの軌跡を求めよ。

という問題があります。奇跡の方程式は、なんとかぐちゃぐちゃになりながらも、

(x-(1/12))^2+(y-(1/12))^2=(√2/12)^2
という風になったのですが、（答がないのであっているかは不明。）

点Qが動く範囲が分かりません。

どうやって求めるか教えてください。
（とりあえず原点は不適であることはわかります。）

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>(x-(1/12))^2+(y-(1/12))^2=(√2/12)^2…(☆)
>という風になったのですが、（答がないのであっているかは不明。）
途中計算が書いてないので途中計算がチェックできません。
結果の軌跡の方程式は合っています。
ただし軌跡の範囲は(☆)の式のx>0の1/26≦y≦1/6の円弧部分…(●)になります。

ABベクトルを成分表示で表すと(3+2m,3-2m),m=0～1
つまり点Pの座標が(3+2m,3-2m)(0≦m≦1)…(▲)で
m=0の時、点Pは点Aの位置にあり、m=1の時、点Pは点Bの位置にあります。

軌跡の範囲はm=0に対応するQの位置とm=1に対応するQの位置を求めてやれば軌跡の境界点の座標が求まります。中間のm(0～1)に対する点Qの座標が軌跡の境界点のどちら側の円弧上にあるかを調べれば（●）の範囲が出てきます。

点Pから引いた2つの接線は直線OPに線対称なので、２つの接点R,Sも線対称です。#1さんも言われている通り、R、Sの中点である点Qは直線OP上にあります。
このことから（▲）の点Pの式から直線OPの方程式は
y={(3-2m)x/(3+2m)}…(■)
と質問者さんが求めた(☆)の円の方程式のx>0の
交点が点Qになるので、そのQが mを範囲(0≦m≦1)で動く範囲が
求める軌跡の範囲（●）になります。

お礼

ありがとうございました。
Pを媒介変数表示にすると分かりやすいですね。

・・ベクトルは思いつきませんでしたorz（ToT。）

回答No.1

Tacosan

円C の中心を O とすると, 「円C の外部の点P から引いた 2本の接線の接点同士を結んだ線分の中点Q」は必ず線分 PO上にありますね.

お礼

@ω@それは気付いていたのですが、先に進まなくて…
それでも、回答ありがとうございました。