円の軌跡の問題です

質問

途中まで解けるのですが、行き詰まってしまいました。ヒントorアドバイスお願いします。

【問題】
直線x=2 の y>0 の部分を動く点Ｑから円 x^+y^=1 に2本の接線を引く。2つの接点を結ぶ線分の中点Ｐの軌跡を求めよ。

[途中式]
Ｑ(2，t)とする。
Ｑから円に引いた接点Ａ(x壱，y壱)，Ｂ(x弐，y弐)とする。

注)壱・弐は、本当はxの横に、小さい 1や2 を記入して、任意のx座標・y座標を表現したかったのですが、うまく文字で表せなかったので、今回は壱・弐を使用しました。

接点の方程式は x壱x+y壱y=1 x弐x+y弐y=1

2つ接点は共に点Ｑを通るから 2x壱+ty壱=1 2x弐+ty弐=1

これ以降がさっぱりわかりません。
途中式を細かくいれた説明を教えてください。

ちなみに下記の文章は、上記の解答の続きからの模範解答だそうです。

・・・2つ接点は共に点Ｑを通るから
2x壱+ty壱=1 2x弐+ty弐=1

ゆえに、直線ＡＢの方程式は 2x+ty=1・・・[ⅰ]

直線ＯＰの方程式は y=t/2*x・・・[ⅱ]

点Ｐは直線ＡＢと直線ＯＰの交点である。

《1》x≠0のとき、[ⅱ]から t=2y/x
これを[ⅰ]に代入して整理すると 2x^+2y^-x=0
ゆえに (x-1/4)^+y^=1/16
これから x>0
または t=2y/x>0 から y>0

《2》x=0 のとき [ⅱ]から y=0 点(0，0) は直線[ⅰ]上にない。
よって求める軌跡は

答え. 円(x-1/4)^+y^=1/16 の y>0の部分

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

yasuhiko2001さん、こんにちは。
注)壱・弐は、本当はxの横に、小さい 1や2 を記入して、任意のx座標・y座標を表現したかったのですが、うまく文字で表せなかったので、今回は壱・弐を使用しました。

ということですが、便宜上x1,y1のように、そのまま書くことにします。

＞接点の方程式は x壱x+y壱y=1 x弐x+y弐y=1
＞2つ接点は共に点Ｑを通るから 2x壱+ty壱=1 2x弐+ty弐=1

さて、ここまでは完璧に出来ていると思います。
２点A(x1,y1)B(x2,y2)を通る直線ＡＢの方程式を求めましょう。
公式より

y-y1={(y2-y1)/(x2-x1)}*(x-x1)がＡＢの方程式ですね。・・・（☆）

ここで、
2x1+ty1=1・・・（★）
2x2+ty2=1
-------------上から下を引くと
2(x1-x2)+t(y1-y2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=-2/t・・・直線の傾き

よって（☆）に代入すると
y-y1=-(2/t)*(x-x1)
ty-ty1=-2(x-x1)
2x+ty=ty1+2x1=1←（★）より

よって直線ＡＢの方程式は2x+ty=1・・・（１）

さて、ＡＢの中点Ｐの座標は((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
ですが、OP⊥ABより、ＯＰの傾きはt/2
また、直線ＯＰは原点を通るので、その方程式は
y=(t/2)x・・・（２）

点Ｐの座標は、(1)(2)の交点であるから、
ここで、ｔは色々な値をとって動くので、ｔを消去しましょう。

（２）より、t=2y/xただし、ｘ≠０のとき。
このとき（１）に代入すると
2x+(2y/x)*y=1
2x^2+2y^2-x=0・・・（３）
x^2-x/2+y^2=0
(x-1/4)^2+y^2=(1/4)^2
これは、中心(1/4,0)の半径1/4の円である。
また、このとき（３）をみてみれば、
x=2x^2+2y^2＞0なのでx>0,y>0
よって、円のx>0,y>0の部分になります。

また、x=0のとき。y=0となるので点P(0,0)となるが
これは、直線ＡＢの方程式を満たさないので不適。

よって、以上のことから
(x-1/4)^2+y^2=(1/4)^2
ただし、y>0の部分、となります。

お礼

お返事ありがとうございます。
金曜日にテストがあるのでとても助かりました。
非常に詳しい説明感謝します。

回答No.3

noname#24477

その模範解答の方針でいくと

直線ABとOPの交点を出せばよい、ということは分かりますか？

OPの方程式は簡単ですよね。

だから難しいところはABの方程式ですね。
(x1,y1)が接点なので
x1x+y1y=1
これがＰ(2,t)を通るので
2x1+ty1=1
この式ですが見方を変えると
2X+tY＝１　にＡ(x1,y1)を代入した式と考えられますね。
Ｂ(x2,y2)についても同様です。
だからこれが直線ABの式です。
これが理解できれば解答が理解できると思います。

普通に手順をこなしていくと
交点(X,Y)を求める。ｔの式になります。
そこで「ｔを消去してＸ，Ｙの関係式を求める」
という手順になりますが、

最終的には直接Ｑ(X,Y)の座標を出さなくても
ｔが動くので「ｔを消去」してＸ，Ｙの関係「式」を作れば
いいわけです。

お礼

お返事ありがとうございます。
大変参考になりました。

回答No.1

nubou

Pの極座標を(r,θ)としOQをｈとすると
直角三角形の相似からh・ｒ=1
一方h・cos（θ）=2
従ってcos(θ)=2・ｒ
両辺にrをかければ簡単に直交座標になるよ

お礼

お返事ありがとうございます。
すいませんが、極座標をまだ習ってないので、今度のテストでは使えそうにないです。
でも、参考になりました。