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円、数IIの問題

円x^2+y^2-18x-6y+81=0 があたえられている また点A(p q)および点B(s t)がこの円外にうごく △OABがこの円を内接としてもつ直角三角形となるとき、直線ABの方程式をもとめよ ただしq<tとする

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  • ferien
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回答No.1

>円x^2+y^2-18x-6y+81=0 があたえられている (x^2-18x+81)+(y^2-6y+9)=9 (x-9)^2+(y-3)^2=3^2より、 中心(9,3),半径3の円で、x軸に接する。 >また点A(p q)および点B(s t)がこの円外にうごく >△OABがこの円を内接としてもつ直角三角形となるとき、直線ABの方程式をもとめよ >ただしq<tとする 原点をOとする。図を描くと、q<tから、OBは原点を通る直線,OAはx軸上で,s>9になる。 1)∠OAB=90度のとき、ABはx軸に垂直な直線で、円に接するから、 中心からの距離が半径3と同じであればいいから、x=12 2)∠OBA=90度のとき、 OB:y=mxとおくと、mx-y=0 OBは円の接線だから、中心からOBまでの距離は半径3と一致するから、 |m×9-3|/√{m^2+(-1)^2}=3 (9m-3)^2=9(m^2+1) 72m^2-54m=0 18m(4m-3)=0 m≠0より、m=3/4 よって、OBはy=(3/4)x B(s t)はOB上の点だから、B(s,(3/4)s) 直線ABはOBに垂直だから、傾き×(3/4)=-1より、傾き=-4/3 Bを通るから、 y-(3/4)s=(-4/3)(x-s)より、 16x+12y-25s=0 ……(1) ABは円の接線だから、中心からABまでの距離は半径3と同じ |16×9+12×3-25s|/√(16^2+12^2)=3 |180-25s|=3×20=60 180-25s=±60 25s=180±60より、25s=240,120より、 s=48/5,24/5 s>9なのはs=48/5 (1)へ代入して、16x+12y-240=0より、 よって、4x+3y-60=0 以上より、直線ABは、x=12 または 4x+3y-60=0 でどうでしょうか?

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