接線の長さが等しい点の軌跡

質問

数学IIの問題で。
「円Ｃ１：ｘ^2+y^2=5 円Ｃ２:x^2+y^2+6x-2y-15=0への接線の長さが等しい点の軌跡を求めよ」
という問題が、解けません。

ぜひご教授願えればと思います。宜しくお願いします

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

一言で言えば、答えは　２つの円の２交点を結ぶ直線の内、２円の内部を除いた部分（交点は含みます）になります。

　２円の中心をそれぞれＯ（０，０）、Ｏ２（－３，１）とします。
　２円への接線の長さが等しい点をＰ（Ｘ，Ｙ）とします。
　また、２円の接点をそれぞれＱ１，Ｑ２とします。

　△ＯＰＱ１に注目しますと、∠Ｑ１＝∠Ｒの直角三角形ですので、三平方の定理が使え、次の関係が得られます。

　　ＰＱ１^2＝ＯＰ^2－Ｑ１Ｐ^2 ＝Ｘ^2＋Ｙ^2－５　　・・・・・・・・（１）

　同様に、△Ｏ２ＰＱ２に注目しますと、次の関係が得られます。

　　ＰＱ２^2＝Ｏ２Ｐ^2－Ｑ２Ｐ^2 ＝Ｘ^2＋Ｙ^2＋６Ｘ－２Ｙ－１５　　・・・・・・・（２）

　ＰＱ１＝ＰＱ２　ですので、式（１）（２）を連立して、次の直線の式を得ます。

　　Ｙ＝３Ｘ－５

　ちなみに、この直線は２円の交点（１，－２）（２，１）を通ります。

　ただし、円内の点から接線を引くことはできませんから、この範囲を除外します。
　従って、求める答えは次のようになります。

　　（答え）　Ｙ＝３Ｘ－５　（ただし、Ｘ≦１、２≦Ｘ）

お礼

非常にわかりやすい説明ありがとうございました