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楕円の2本の直交する接線が引けるような点の軌跡は円

  • 質問No.9625979
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お礼率 24% (27/109)

抽象的な質問になってしまうのですが、お答えいただければ幸いです。


ある楕円に対して2本の直交する接線が引けるような点の軌跡は円である。というのは、理系の方なら(?)有名かと思います。

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

簡単な方針としては2つの接線が直交することから傾きの積が-1を使うと思うのですが

接線がy軸またはx軸に平行なときは、数学的にどう考えますか?

分かりやすく画像添付します。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
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ベストアンサー率 60% (18/30)

楕円 C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 の外部の点P(α, β) から傾きmの直線 y-β=m(x-α) をひくとき、これが楕円の接線になるには、代入してyを消去し、x-α=u としてまとめて、
(b^2+a^2m^2)u^2+2(αb^2+βa^2m)u+(bα)^2+(aβ)^2-(ab)^2=0.
において、判別式D/4=0 となることです。すなわち、
(a^2-α^2)m^2+2αβm+b^2-β^2=0...(*)
がなりたちます。
1) a^2-α^2≠0 のときは、2実解の積がー1であることから...(*)より、
a^2+b^2=α^2+β^2,
★次が質問点と思います。
2) a^2-α^2=0 のときは、α=±a.
このとき接線の1つは x=a, (x=-a) ですからもう1つの接線は x
軸に平行になり、
P(±a, ±b), (複号は任意)
となります。
お礼コメント
Evil_Wind

お礼率 24% (27/109)

ここにまとめてお礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。
投稿日時:2019/07/05 08:20

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1

ベストアンサー率 44% (4308/9710)

数学・算数 カテゴリマスター
接線がy軸またはx軸に平行なときというのは,図で言えば接点が(a,b),(-a,b),(-a,-b),(a,-b)のときだよね。これらの点は円x^2+y^2=a^2+b^2にあることは明らかです。
補足コメント
Evil_Wind

お礼率 24% (27/109)

ご回答ありがとうございます。

疑問に思ったのが、グラフはイメージなので、わかりやすい反面

2つの接線が直交することから傾きの積が-1を使うという論理が使えないので、質問させていただきました。
投稿日時:2019/06/15 14:18
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