２次曲線、楕円、双曲線、放物線、準円、準線、軌跡

質問

楕円において、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡は、円となり、
準円と呼ばれます。
証明は
www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kkawachi/math-misc.files/director_circle.pdf
などに書かれています。

同様に、双曲線において、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡は、円となり、準円と呼ばれます。

では、なにかあるなめらかな曲線があって、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡が円となるとき、もとの曲線は楕円、または、双曲線に限られるのでしょうか?

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

あらかじめ，これは回答ではありません．

リンク先の話は，先に曲線があって，
それに対してという話なので簡単なわけですね

逆にしてみると・・・厄介だなあ．
ってか・・解けない．
答えの想像は「たぶん円・楕円・双曲線・放物線」だろうなとは
思いますけどねー
＃二次曲線は見方を変えると
＃本質的に一種類なので放物線もいれておきます

リンク先の「方法1」に沿ってみよう．

F(x,y)=0 (FはC^∞くらいにしておこう)
なる曲線Cと，点A(a,b)をとる．
AからCへの接線の傾きをmとおこう．
接線は y=m(x-a)+b
軸に平行なケースはとりあえず考えない．
F(x,m(x-a)+b)=0
を考える．これは接線だから重解をもつはずだ．
この場合，f(x)=F(x,m(x-a)+b)とおくことで
f(x)=f'(x)=0が共通解を持つことに相当する．
この共通解が接点だ．
この共通解をもつということから，mを引っ張り出す．
そして，直交するという条件を使う．

とまあ・・・・こんな感じ大雑把にはすすめるわけですが，
問題点が複数あります
・軸に平行な接線を考えていない（これは本質ではない）
・接線がそもそもひけるか否か？
・接線がひけても2本だけか？1本もしくは3本以上のケースはどうする？
これを回避するには曲線Cを限定してしまうことが簡単です．

そこで，曲線Cを多項式F(x,y)で表わせるものとしてしまいます．
さらに次数も限定してしまいましょう．

次数が1の場合は無意味なので考えません．

次数が2の場合
F(x,y) = a20 x^2 + 2a11 xy + a02 y^2 + 2a10 x + 2a10 y + a00
とおくのがお約束．係数に2があるのは本質ではなく
表記を簡単にするためのお約束．
これを分類・整理するのが
大学の一年生くらいの線型代数の最後の方によくでてくる
二次形式の理論．
まあ，詳細は省いて，これは質問者氏が把握している問題と
その結果が導かれます．
＃けど真剣にやったらかなり難儀な計算と理論と思考が必要ですよ．

次数が2の場合，接線の存在も個数も，二次方程式の議論から
判別式で素直に出てしまうので容易なわけです．
しかも「除外すべき特異なケース」は
F(x,y)が一次関数に因数分解されてしまうケースと
F(x,y)=x^2+y^2のようにF=0が一点になったり
F(x,y)=x^2+y^2+1のようにF=0が空集合になるケースくらいです．

これが次数が3になると，話が複雑．
接線が3本引けるケースもでてくるし。。。
本質的なのは3次曲線からは「特異」なものがでてくること．
F(x,y)=x^2-y^3なんてのは原点の形状が特異
F(x,y)=y^2-x^3-xなんかはもっと複雑
（これ暗号に使われる曲線のシンプルな例）
幸いなことに三次曲線は分類が完了してますが，
専門の数学者が研究でやってたくらいで，
結構最近の結果です．

もっと次数をあげると・・・4，5次あたりまでは
たしか分類完了してますが，
爆発的にパターンが増えるので
このアプローチは破綻します．

ということで，リンク先の「方法2」「方法3」のように
より抽象的・幾何的な方向にいくのですが，
そうなると話は格段に難しくなります．

回答No.2

take_5

別に枝葉じゃないだろうよ。
2次曲線といってるんだから、そんな程度なら自分で確かめれるだろう。

お礼

問題文をよくよまれてください。
「なにかあるなめらかな曲線」と書いております。

回答No.1

take_5

＞同様に、双曲線において、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡は、円となり

常に、ではない。条件がつく。

＞もとの曲線は楕円、または、双曲線に限られるのでしょうか?

他にある曲線といえば、放物線と円。
放物線の場合の軌跡は準線、円の場合は？

お礼

あのう、円は楕円に含まれると考えてください。
枝葉でないご回答をお待ちしております。