楕円の準円の導出について
- 楕円の互いに直交する接線の交点の軌跡を求める問題とその解答について質問です。
- 問題では、楕円の方程式に互いに直交する接線の方程式を代入し、二次方程式を解くことで交点の軌跡を導出します。
- 質問者は、解答においてxとmの順序を入れ替えた場合に異なる結果が得られることに疑問を持っています。
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楕円の準円の導出について
以下の問題及び解答について質問です。 ○問題 楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の互いに直交する接線の交点の軌跡を求めなさい。 ○解答 ①2接線の交点を(α、β)とすると、その接線は y＝m(x－α)＋β であらわせる。 この接線を与えられた楕円の方程式に代入すると、(a＾2*m＾2+b＾2)x＾2＋2a＾2*m(β-mα)x＋a＾2(β-mα)＾2-(ab)＾2＝0。 ②これが接するから 判別式＝0 → (a＾2-α＾2)m＾2＋2αβm＋(b＾2-β＾2)＝0. ③2つの接線が直交するから、mの方程式の2解の積＝-1 である。 (b＾2-β＾2)/(a＾2-α＾2)＝-1 つまり α＾2＋β＾2＝a＾2＋b＾2。 これを流通座標に直すと、 x＾2＋y＾2＝a＾2＋b＾2。 但し、a＾2-α＾2≠0から、x≠±a。 ○疑問点 上の模範解答において、 ①でxとmの2変数の方程式を導き、 ②でmを固定してからxに関する条件を適用してxを消去し、 ③でmの固定を解除し、mに関する条件を適用してmも消去する という工程を踏んでα、βの式を導いていると思うのですが、②と③の順番を変える、すなわち先にxを固定してmを消去し、その後にxも消去するという方針でも同じ結果が得られるだろうと考えて解いてみたのですが、また別の曲線の式が出てきてしまい、答えが一致しません。何度も見直したので計算ミスではないはずなのですが… やはりどこかで処理を間違えているのでしょうか？それとも、先にxを消去し、重解の条件を処理しないといけない縛りがこの問題の中で隠れているのでしょうか？ ご回答の程よろしくお願いします。
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> 先にxを固定してmを消去 とありますが、xは固定できません。 直線 y = m (x - α) + β …(*) を楕円の式に代入し、yを消去して得られる式があります。この等式をxの二次方程式とみてその重解を考えると、(α , β) の位置に対して重解の値は変化します。 （重解の値が、直線(*) と楕円の接点のx座標を表すことを考えてみてください）
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