楕円の問題

質問

楕円(x/a)^2+(y/b)^2=1がある。（a>b>0)
点Aを(a,0)とする。
このとき原点をO、楕円上の点をPとすると、角OPA<90°となるa,bの関係を求めよ。

という問題がありました。
僕はまず、角OPAが90°になる奇跡を考えて、当然円になります。
Pがこの円の外側にあれば条件を満たせます。
この円は中心(a/2,0)、半径a/2であるので方程式は、
(x-a/2)^2+y^2=a^2/4
これと楕円とは(a,0)でだけ接すればよいので、楕円の方程式を変形してy＾2=の形にして、円の方程式に代入して判別式を使ったら、a=√2×bと出てきました。
しかし答えはa≦√2×bでした。
ぼくの解答のどこがまずいのでしょうか？
添削お願いします。

回答No.6

info22

#3です。
#3です。
A#3の補足質問の回答

>>>他にX軸に対称な交点の解が
>> x=(ab^2)/(a^2-b^2),y=±ab{√(a^2-2b^2)}/(a^2-b^2)…(D)
>> 出てきます。

>どこから出したのでしょうか？
楕円(A)と円(B)の連立連立方程式以外に出すところはないでしょう。
円の式（B)からy^2=(a^2)/4-(x-a/2)^2…(B')
これを(A)に代入して
-x^2/b^2+x^2/a^2+(a*x)/b^2-1=0
-(a^2)(b^2)をかけて因数分解して
(x-a){(a^2-b^2)x-ab^2}=0
ここから
x=a　と
x=ab^2/(a^2-b^2)
がでてきます。
x=a を(B')に代入して　y^2=0　→　y=0（重解）
x=ab^2/(a^2-b^2)を(B')に代入すれば質問の(D)の式がでてきます。

回答No.5

mister_moonlight

＞直線ＯＰと直線ＰＡの交角を考える方法もあるが

Ｐ（α、β）とすると、直線ＯＰの傾き＝tanγ＝β/α、直線ＰＡの傾き＝tanδ＝β/（α-a）。但し、β＞0で考えても、一般性を失わない。
∠ＯＰＡ＝θ　（0≦θ＜π/2）とすると、tanθ＝tan（γ-δ）＝｜（tanγ-tanδ）/（1＋tanγ*tanδ）｜＝｜（aβ）/（α＾2-aα＋β＾2）｜。
aβ＞0、tanθ＞0から、α＾2-aα＋β＾2＞0　‥‥(1)であると良い。
（bα）＾2＋（aβ）＾2＝（ab）＾2を(1)に代入して整理すると、a＞b＞0より、（α-a）*{α－（ab＾2）/（a＾2-b＾2）}＞0.
α-a≦0より、α－（ab＾2）/（a＾2-b＾2）≦0.
これが、α-a≦0で常に成立するから、a≦（ab＾2）/（a＾2-b＾2）。
従って、a＞b＞0より、√2*b≧a＞0.

回答No.4

mister_moonlight

直線ＯＰと直線ＯＡの交角を考える方法もあるが、単純に“余弦定理”だけでも解決できる。

∠ＯＰＡ＝θ　（0≦θ＜π/2）、Ｐ（a*cosα、b*sinα）、Ａ（a、0）、Ｏ（0、0）とする。
△ＯＰＡに余弦定理を使うと、（ＯＡ）＾2＝（ＯＰ）＾2＋（ＰＡ）＾2-2*（ＯＰ）*（ＰＡ）*cosθであるから、
2*（ＯＰ）*（ＰＡ）*cosθ＝（ＯＡ）＾2＝（ＯＰ）＾2＋（ＰＡ）＾-（ＯＡ）＾2＝‥‥‥＝（cosα-1）*{cosα-（b＾2）/（a＾2-b＾2）}≧0。　‥‥(1)　何故なら、a＞b＞0より。

ＯＰ＞0、ＰＡ＞0より1＞cosθ≧0であるから、(1)は　cosα≦（b＾2）/（a＾2-b＾2）‥‥(2)
1≧cosθ＞0であるから、(2)が常に成立する事により、1≦（b＾2）/（a＾2-b＾2）。従って、a＞b＞0より、√2*b≧a＞0.

計算には自信なし、検算して欲しい。

回答No.3

info22

> (x/a)^2+(y/b)^2=1（a>b>0)…(A)
> (x-a/2)^2+y^2=a^2/4…(B)
こう置いた段階で2円はA(a,0)で接します。
なぜなら2円のA(a,0)における接線の式がx=aで
共通接線となっているからです。

(A)と(B)を連立にして解くと
x=a,y=0(重解)…(C)が出てきます。
> これと楕円とは(a,0)でだけ接すればよいので、
これを満たしていますね。

他にX軸に対称な交点の解が
x=(ab^2)/(a^2-b^2),y=±ab{√(a^2-2b^2)}/(a^2-b^2)…(D)
出てきます。
この交点が存在する条件は√内（つまり判別式D)=a^2-2b^2≧0
等号が成り立つ時は(D)は重解(C)(点A)に一致して4重解となります。
等号でない時は(D)はA(a,0)とは異なる交点Q,Q'になる。

>判別式=0を使ったら、a=√2×bと出てきました。
これが上で説明した4重解(x,y)=（a,0）の条件になります。

>しかし答えはa≦b√2でした。
これは√内=a^2-2b^2=(a-b√2)(a+b√2)≦0の条件です。
a>b>0から(a+b√2)>0なので
(a-b√2)≦0、つまりa≦b√2となります。
a<b√2のときは二虚数解となるので(D)は交点としては存在しません。

以上をまとめると
(I) 0<b<a≦b√2の場合(交点は接点の点Aのみ)
(p/a)^2+(q/b)^2=1を満たす点P(p,q)、ただし角が定義できないので
点A(a,0)は除く。

(II) a>b√2>0の場合（接点以外に(D)の２つのQ,Q'が存在）
p<(ab^2)/(a^2-b^2),(p/a)^2+(q/b)=1を満たす点P(p,q)

ここで、問題を考えてみると、
A(a,0)を除く楕円上のすべての点Pで∠OPA<90°となるa,bの条件を求めよ。というのであれば（I)の「0<b<a≦b√2」が答になるでしょう。
（答）からはこちらの意味の問題と考えられます。

∠OPA<90°を満たす楕円上の点P(p,q)の存在範囲を求めよ。というのであれば(I),(II)をあわせたものが答になるでしょう。

補足

>>他にX軸に対称な交点の解が
x=(ab^2)/(a^2-b^2),y=±ab{√(a^2-2b^2)}/(a^2-b^2)…(D)
出てきます。

どこから出したのでしょうか？
これがわかれば大丈夫そうです。

回答No.2

handarin

2式を連立して、xの二次方程式
(b^2-a^2)x^2+ax-a^2b^2=0
を考えるまではOKですが、
判別式＝0というのはちょっと違います
二次方程式の解がx=a以外にあったとしても
それが0≦x≦aを満たしていなければ良いわけです。

回答No.1

Tacosan

点P は楕円上の任意の点でいいですか?