楕円を円に変換する問題です。

質問

１次変換
A=(1 　　　　　-α)
(β 　　√３・γ)
によって楕円3x^2+9y^2=1を原点を中心とする半径１の円になるとき
α,β,γを求めよ。ただしα、β、γは正の実数とする。

という問題です。

(X,Y）を変換後の座標としますと、X^2+Y^2=1・・(1)が成り立ちます。
又、楕円は(1/√３ , 0)　(0 , 1/3）を通りますので
(X,Y)=(1/√3 , 1/√3・β)　　　・・(2)
(X,Y)=(α/3　,√3・γ/3)　　　　・・(3)
が成り立ちます。
(2)を(1)に代入しβ＝√２を導出することはできたのですが、(3)を(1）に代入したところで詰まってしまいました。
ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

(2),(3)から
(1/√3)^2+(1/√3・β)^2=1
(α/3)^2+(√3・γ/3)^2=1
の２つの式が得られますが、未知数は３つあるのでもう１つ式が必要です。

3x^2+9y^2=1を満たすもう１つの点(1/√6 , 1/(3√2))から、変換後の(X,Y)を求めて、
X^2+Y^2=1
に代入すれば、３番目の式が得られます。

回答No.3

noname#130496

2次形式の係数行列が等しくなるようにしてもいいでしょう。
A' A
=
3 0
0 9

回答No.2

WiredLogic

この楕円を、媒介変数θを使った方程式で表すと、
x = cosθ/√3, y = sinθ/3 ですから、

X = x-αy = cosθ/√3 - αsinθ/3
Y = βx + √3・γy = βcosθ/√3 + γsinθ/√3

これを、X^2 + Y^2 = 1 に代入して、恒等式になるのは、

(cosθ)^2 と (sinθ)^2 の係数が１、
cosθsinθ の係数が0　になるとき、

これから、未知数３個の方程式が３つ
出てくるので、連立方程式として解けば、いいのでは？