A(楕円) (A∈Hom[R^2,R^2])

質問

１次変換
A=(1 　　　　　-α)
(β 　　√３・γ)
によって楕円3x^2+9y^2=1を原点を中心とする半径１の円になるとき
α,β,γを求めよ。ただしα、β、γは正の実数とする。
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
その変換で x^2+y^2=1^2 に　なりますか?

回答No.1

jcpmutura

A=
(1,-α)
(β,γ√3)

|A|=αβ+γ√3

楕円
3x^2+9y^2=1…(1)
周上の点を(x,y)
円
X^2+Y^2=1…(2)
周上の点を(X,Y)
(X;Y)=A(x;y)
とすると

(x;y)=A^{-1}(X;Y)
=
1/(αβ+γ√3)
(γ√3,α)(X)
(-β ,1 )(Y)
↓
x=(γX√3+αY)/(αβ+γ√3)
y=(-βX+Y)/(αβ+γ√3)
↓これを(1)に代入すると
3(γX√3+αY)^2+9(-βX+Y)^2=(αβ+γ√3)^2
↓展開すると
9(γ^2+β^2)X^2-6(3β-γα√3)XY+3(3+α^2)Y^2=(αβ+γ√3)^2…(3)
↓これと(2)から
6(3β-γα√3)=0
↓両辺を18で割ってγα/√3を加えると
β=γα/√3…(4)

↓(2),(3)から
9(γ^2+β^2)=3(3+α^2)
↓両辺を3で割ると
3γ^2+3β^2=3+α^2
↓これに(4)を代入すると
3γ^2+3(γα/√3)^2=3+α^2
3γ^2+γ^2α^2=3+α^2
γ^2(3+α^2)=3+α^2
↓αは実数だから3+α^2>0だから両辺を3+α^2で割ると
γ^2=1
↓γ>0だから
γ=1…(5)

↓(2),(3)から
(αβ+γ√3)^2=3(3+α^2)
↓これに(4)を代入すると
{(γα^2/√3)+γ√3}^2=3(3+α^2)
γ^2(α^2/√3+√3)^2=3(3+α^2)
↓これに(5)を代入すると
(α^2/√3+√3)^2=3(3+α^2)
↓両辺に3をかけると
(3+α^2)^2=9(3+α^2)
↓両辺を3+α^2で割ると
3+α^2=9
↓両辺から3を引くと
α^2=6
↓α>0だから
α=√6…(6)
↓これと(5)を(4)に代入すると
β=√2
これと(5),(6)から

α=√6
β=√2
γ=1

A=
(1,-√6)
(√2,√3)

(X)=(1 ,-√6)(x)=(x-y√6)
(Y).(√2,√3)(y).(x√2+y√3)

X^2+Y^2
=(x-y√6)^2+(x√2+y√3)^2
=3x^2+9y^2
=1