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楕円

楕円{(x^2)/(a^2)}+{(y^2)/(b^2)}=1(但しa>0,b>0)の接線がx軸、y軸と交わる点をそれぞれP,Qとするとき、線分PQの長さの最小値を求る問題で {(x^2)/(a^2)}+{(y^2)/(b^2)}=1から 楕円の公式より a>bのとき横長楕円で 原点(0,0) 長軸の長さ2a 縦軸の長さ2b 焦点F1(c,0)  F2(-c,0) 直線上の点をPとおくとPF1+PF2=2aを利用すると思うのですがよく分かりません 参考書の解説を載せておきます 接点の座標(x0,y0)とする。 図形の対象性および接線が両軸と交わることからx0>0かつy0>0 {(x0x)/(a^2)}+{(y0y)/(b^2)}=1 (PQ)^2=【{(a^4)/(x0^2)}+{(b^4)/(y0^2)}】*【{(x0)^2/(a^2)}+{(y0)^2/(b^2)}】≧【{(a^2)/(x0)}*{(x0)/(a)}*{(b^2)/(y0)}*{(y0)/(b)}】^2 =(a+b)^2 等号は {(a^2)/(x0)}:{(b^2)/(y0)}=(x0/a):y0/b) より (x0,y0)=【{√a^3/a+b)},{√b^3/a+b)}】のとき成立 求める最小値はa+b と書いてあるのですがよく分かりません。 誰か教えてくれませんか?

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みんなの回答

  • 回答No.7
  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)

ちょっとパソコンが壊れていて間が開きましたが、一応補足します。 接線の傾きはy'であるのは良いですか? ('はxに関する微分の意味。yはxの関数と考えている) そして、点(a,b)における接線の方程式は y-b=y'(x-a) であるのも良いですか?(y'はx=aにおける値) 楕円の方程式から、 y' = -(b^2・x)/(a^2・y) なので、楕円上の点(x0,y0)における接線の傾きは -(b^2・x0)/(a^2・y0) です。 (y'=の式にx,y両方出ているからわかりにくいのかな?) ちょっと、これ以上の説明は難しいので、一つの参考書や教科書でわからなかったら、いろいろな参考書の説明を当たってみるのも良いと思います。自分に合うものと合わないものがあると思うので。また、式だけでなく、とにかく絵を描いてイメージするのも非常に大事です。

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  • 回答No.6
  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)

>この直線とx軸、y軸との交点P,Qは、 P(a/cosθ,0),Q(0,b/sinθ) これはどうやって現れたのですか? 直線の方程式(cosθ)x/a + (sinθ)y/b = 1で y=0とすると、x=a/cosθ x=0とすると、y=b/sinθ 単に、直線とx軸、y軸との交点を求めただけです。 >PQ^2 = a^2 + (a・tanθ)^2 + b^2 + (b/tanθ)^2 = a^2+ b^2 + (a・tanθ)^2 + (b/tanθ)^2 ≦a^2+ b^2 + 2ab ↑の≦は何の意味ですか? (a・tanθ)^2 + (b/tanθ)^2から2abになるのが分かりません。 不等号の向きが反対で、 a^2+ b^2 + (a・tanθ)^2 + (b/tanθ)^2 ≧a^2+ b^2 + 2ab でした。 (a・tanθ)^2 + (b/tanθ)^2≧2(a・tanθ)・(b/tanθ)=2ab 一般に(x-y)^2=x^2-2xy+y^2≧0より、 x^2+y^2≧2xyが成り立つ。(等号が成り立つのはx=yのとき) x=a・tanθ、y=b/tanθとおいてみればわかる。 相加・相乗平均の等号成立条件と、教科書どおりにいえば そうですが、本質的には同じことです。 >(y^2)' =2yy'のような合成関数の微分は分かりません。 例えばx^2=2xという微分は分かるのですがy^2はyについての微分じゃなくてyについての微分なんどどのように考えるか分かりません。 合成関数f(g(x))のxでの微分は、f'(g(x))g'(x)となるのですが、 lim{f(g(x+h)-f(g(x))}/h =lim{f(g(x+h))-f(g(x))}/{g(x+h)-g(x)}・{g(x+h)-g(x)}/h =f'(g(x))・g'(x) (極限はh→0) y^2をxで微分するときは、まず、y^2をyで微分して、yをxで微分 したものをかけるんです。(yがxの関数であると見ています) ほかに、たとえば(x^2+1)^2をxで微分できますか? 2(x^2+1)・2xになりますね。 y=x^2+1としてみると、y^2をxで微分すると、2yy'になることも 見えてくると思うのですが・・ 合成関数の微分は、最初はわかりにくいかもしれませんが、 問題を沢山やって、感覚をつかんでください。 (もしかして、まだ習ってない?) >楕円上の点(x0,y0)はどうして考えるのですか? y-y0の求めかたですが このときのyはy'の値ですが、y=y'と考えてもいいですか? これは、ちょっと意図がわからないのですが・・・ >コーシーシュワルツの公式(というか不等式) どのような場合と言われても、実にさまざまな場面で使いますが、 まあ、算式の大小を評価したいときというか・・・ ウィキペディアとかも見てね。 まだ基本的な知識というか、慣れていないようなので、 やさしい問題でもよいので、たくさんやって、感覚を 培われることをお勧めします。数学は論理の学問のようですが、 感覚も非常に大事です。

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質問者からの補足

早速の解説ありがとうございます。 これから考えたいと思います。 より、y' = -(b^2・x)/(a^2・y) y - y0 = -(b^2・x0)/(a^2・y0)・(x - x0) になることがわかりません。 接線の傾きはどうして分かるのですか?

  • 回答No.5
  • zk43
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>x=a・cosθ、y=b・cosθ(→正しくはy=b・sinθ) のa',やb'は微分の意味ですか? a×cosθのことです。(aかけるcosθ) 画面上で、「・」と「'」(ドットとダッシュ)の違いが 分かりにくい? 一般に数学では「・」(ドット)はかけるを意味するのが習慣です。 文字を並べて書くと分かりにくくなる場合に良く使う。 たとえば、acosθとかくと、acosという関数なのかな、 と勘違いしてしまうかも。 (cosの逆関数arccosと混同する可能性もあるかも) 「'」(ダッシュ)はxに関する微分の意味で使っています。

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質問者からの補足

返事が遅くなってすいません。 いつも質問に答えてくれてどうもありがとうございます。 いくつか分からないので教えてください。 >この直線とx軸、y軸との交点P,Qは、 P(a/cosθ,0),Q(0,b/sinθ) これはどうやって現れたのですか? PQ^2 = a^2 + (a・tanθ)^2 + b^2 + (b/tanθ)^2 = a^2+ b^2 + (a・tanθ)^2 + (b/tanθ)^2 ≦a^2+ b^2 + 2ab ↑の≦は何の意味ですか? (a・tanθ)^2 + (b/tanθ)^2から2abになるのが分かりません。 a・tanθ = b/tanθ これは相加・相乗平均の等号成立条件と考えてもいいですか? 楕円の接線の方程式に関しては、 {(x^2)/(a^2)}+{(y^2)/(b^2)}= 1 の両辺をxで微分すると、 2x/(a^2) + 2yy'/(b^2) = 0 より、y' = -(b^2・x)/(a^2・y) となって接線の傾きが分かるので、楕円上の点(x0,y0) における接線の方程式は、 y - y0 = -(b^2・x0)/(a^2・y0)・(x - x0) 両辺にa^2・y0を掛けると、 a^2・y0・y - a^2・(y0)^2 = -b^2・x0・x + b^2・(x0)^2 b^2・x0・x + a^2・y0・y = b^2・(x0)^2 + a^2・(y0)^2 両辺をa^2・b^2で割ると、 (x0・x)/(a^2) + (y0・y)/(b^2) = (x0)^2/(a^2) + (y0)^2/(b^2) = 1 (y^2)' =2yy'のような合成関数の微分は分かりません。 例えばx^2=2xという微分は分かるのですがy^2はyについての微分じゃなくてyについての微分なんどどのように考えるか分かりません。 導関数の公式は 関数y=f(x)の導関数f'(x)の定義式 f'(x)=lim(h→0){f(x+h)-f(x)/h xは変数 この式を利用するのですか? 楕円上の点(x0,y0)はどうして考えるのですか? y-y0の求めかたですが このときのyはy'の値ですが、y=y'と考えてもいいですか? それから、コーシーシュワルツの公式は {(x1 ^2)+(y1^2)}*{(x2^2)+(y2^2)}≧(x1x2+y1y2)^2 (等号x1:y1=x2:y2)のときですが、 この公式はどんなときに利用するのですか? 沢山質問をしてすいません。 いつでも構いませんのでよろしくおねがしいます。

  • 回答No.4
  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)

y=b・cosθとおくはy=b・sinθの間違いです。 良く見ましたが、他にも打ち間違いがあるかもしれないので、 気をつけて・・・どうも、すみません。

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  • 回答No.3
  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)

x=a・cosθ、y=b・cosθとおいてしまった方が、見やすくなるのでは? この楕円はx軸、y軸に関して対照なので、x>0、y>0で考えればよく、 0<θ<π/2としても一般性を失いません。 楕円上の点(a・cosθ , b・sinθ)における接線は、 (a・cosθ)x/(a^2) + (b・sinθ)y/(b^2) = 1 ちょっと整理して (cosθ)x/a + (sinθ)y/b = 1 この直線とx軸、y軸との交点P,Qは、 P(a/cosθ,0),Q(0,b/sinθ) よって、 PQ^2 = (a/cosθ)^2 + (b/sinθ)^2 ここで、 1/(cosθ)^2 = 1 + (tanθ)^2 1/(sinθ)^2 = 1 + 1/(tanθ)^2 なので、 PQ^2 = a^2 + (a・tanθ)^2 + b^2 + (b/tanθ)^2 = a^2+ b^2 + (a・tanθ)^2 + (b/tanθ)^2 ≦a^2+ b^2 + 2ab =(a+b)^2 等号が成り立つのは、 a・tanθ = b/tanθ すなわち、 tanθ = √(b/a) を満たすθのとき。 ゆえに、PQ^2の最小値は(a+b)^2で、PQの最小値はa+b 等号の成立条件については、 「(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2≧0  より、  x^2 + y^2≧2xy  で、等号の成り立つのはx = yのとき」 を利用しています。 楕円の接線の方程式に関しては、 {(x^2)/(a^2)}+{(y^2)/(b^2)}= 1 の両辺をxで微分すると、 2x/(a^2) + 2yy'/(b^2) = 0 より、y' = -(b^2・x)/(a^2・y) となって接線の傾きが分かるので、楕円上の点(x0,y0) における接線の方程式は、 y - y0 = -(b^2・x0)/(a^2・y0)・(x - x0) 両辺にa^2・y0を掛けると、 a^2・y0・y - a^2・(y0)^2 = -b^2・x0・x + b^2・(x0)^2 b^2・x0・x + a^2・y0・y = b^2・(x0)^2 + a^2・(y0)^2 両辺をa^2・b^2で割ると、 (x0・x)/(a^2) + (y0・y)/(b^2) = (x0)^2/(a^2) + (y0)^2/(b^2) = 1 (y^2)' =2yy'のような合成関数の微分はお分かりですか?

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質問者からの補足

解説ありがとうございます >x=a・cosθ、y=b・cosθ のa',やb'は微分の意味ですか?

  • 回答No.2

この解法は、個人的にはあまり薦められませんねえ。 ですが、どういうことを言っているのかは理解できたので、解説します。 まず公式として、楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の点(x0,y0)における接線の方程式はx0x/a^2+y0y/b^2=1 したがってこの式にy=0、x=0をそれぞれ代入することにより、 P(a^2/x0,0)、Q(0,b^2/y0)が求まる。 よって三平方の定理により PQ^2 =OP^2+OQ^2 =(a^2/x0)^2+(b^2/y0)^2 =a^4/x0^2+b^4/y0^2 ここで重要テクニック!!何らかの多項式に1を掛けてもその式は何ら変化しないので =(a^4/x0^2+b^4/y0^2)*1 [さっきと何にも変わってないです] ここで重要な事実(楕円の問題では頻繁に使う):当たり前だけど接点(x0,y0)は楕円上であるからそれらの値は楕円の式に代入できて、   x0^2/a^2+y0^2/b^2=1   左右をひっくり返すと1=x0^2/a^2+y0^2/b^2  これを先程わざと作っておいた*1の1のところに代入すると、 =(a^4/x0^2+b^4/y0^2)*(x0^2/a^2+y0^2/b^2) [あともうひとふんばり!] ここで数学における重要な公式「コーシー・シュワルツの不等式(特殊形)」”(s^2+t^2)(p^2+q^2)≧(sp+tq)^2、等号成立はs:t=p:qのとき” を利用すれば (今回の問題では、s=a^2/x0、t=b^2/y0、p=x0/a、q=y0/b) あなたの参考書の解説の最後につながります。

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質問者からの補足

解説ありがとうございます。 お聞きしたい事があります。 まず、楕円の図なのですが書くとしたら横長でいいですか? 接線の位置は横楕円の右上と考えてもいいですか? 接線の方程式はx0x/a^2+y0y/b^2=1 が分かりません これは楕円の公式ではないのでしょうか?

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

元の問題の表現はあやしいんだけど, 参考書の解説は, 基本的には問題を素直に解いているだけですね. まず接線を考えるんだから接点の座標を文字で表し, それをもとに P の x 座標と Q の y座標を求める. 今の場合は楕円とその上の点での接線を考えるわけだから切片方程式とみなせば簡単です. で, PQ を素直に求める (等価なので PQ^2 を計算するのが普通) という流れです. で... どこがわからないんでしょうか?

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