高校数学です

質問

楕円(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1 (a＞0,b＞0)の第1象限の部分の任意の1点をPとする。
Pにおける楕円の接線とx軸,y軸との交点をそれぞれQ,R,原点をOとする。
(1)△OQRの面積の最小値を求めよ。
(2)線分QRの長さの最小値を求めよ。

P(a*cos(θ),b*sin(θ))(0＜θ＜π/2)とおいて接線を出してQ,Rの座標を出してみたら、(1)はきれいな形になって最小値出せたんですが、(2)がうまく出せません。
Pのおき方が違うんでしょうか??
正しい解法教えて下さい。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>P(a*cos(θ),b*sin(θ))(0＜θ＜π/2)とおいて接線を出してQ,Rの座標を出してみたら、
このやり方でやればいいでしょう。

(1)
>きれいな形になって最小値出せた
S=ab/sin(2θ)　(0＜θ＜π/2)
dS/dθ=-2ab*cos(2θ)/sin^2(2θ)
sin^2(2θ)>0,θ=π/4でdS/dθ=0
0<θ<π/4で dS/dθ<0, π/4<θ<π/2 で dS/dθ>0
なので θ=π/4で最小値S=ab

(2)
No.1さんのアドバイスのやり方で出来ますよ。

QR=Lとおくと
L^2=a^2/cos^2θ+b^2/sin^2θ
たとえば　t=cos^2θ (0＜θ＜π/2) で置換すると　0<t<1
L^2=a^2/t+b^2/(1-t)=f(t) (0<t<1)
f'(t)={(a+b)t+a}{(b-a)t-a}/{t(1-t)}^2
0<t<1 の範囲で増減表を書いて調べると
t=a/(a+b) のときf(t)は最小値f(a/(a+b))=(a+b)^2をとることが分かります。
このときQR=Lの最小値は(a+b)となります。
また、このときのPの座標は (a√(a/(a+b)),b√(b/(a+b)))
ですね。

お礼

丁寧にありがとうございます(*^o^*)

回答No.3

mister_moonlight

微分も判別式も要らない方法。

cos＾2θ＝t 0＜t＜1　‥‥(1)　とすると、t=m、 1-t＝nとすると、m＋n＝1　‥‥(2)
QR＾2＝a＾2/m+b＾2/n　であるから、シュワルツの不等式より、(m＋n)*(a＾2/m+b＾2/n)≧(a+b)＾2　　等号は、an＝bm　つまり　t＝a/(a＋b)の時。これは(1)を満たす。

以上から、QRの最小値は　a+b。

お礼

シュワルツの不等式は思いつきませんでした
ありがとうございます(*^o^*)

回答No.1

mister_moonlight

＞正しい解法教えて下さい。

解法は間違ってない。
cos＾2θ＝t 0＜t≦1　として、微分するか、判別式を使う。
いずれにしても、QR＾2の話。2乗しなくてもいいが。。。。？

お礼

ありがとうございます(*^o^*)