二次曲線の問題です。

質問

曲線x^2/4+y^2=1 (x>0,y>0)上の動点Pにおける接線と、x軸、y軸との交点をそれぞれQ,Rとする。
このとき線分QRの長さの最小値と、その時の点Pの座標を求めよ。

という問題なのですが、Pを(p,√(1-p^2/4))とおいて接線を求め、QRの長さを出したのですが、最小値が求められません。
ちなみに、接線はpx/4+√(1-p^2/4)y=1、QRの長さは√{(64-12p^2)/p^2(4-p^2)}となりました。
考え方自体が違うのかもしれないのですが、ヒントだけでいいので教えて頂けたら幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

楕円の媒介変数表示を使うと良いだろう。

Ｐ(2cosθ、sinθ)とすると、x>0,y>0　より　0＜θ＜π/2　‥‥(1)
点Ｐにおける接線の方程式をθでもとめると、点Qと点Rがθで求められる。
そこで、QR＾2　をθでもとめると、θの関数になるから、sin＾2θ＝t とすると、(1)より0＜t＜1。
分母は、tの2次関数になる。分母が最大なら、全体は最小になる。

実際の計算は、自分でやって。

回答No.3

mister_moonlight

楕円の媒介変数表示を使わなくても解ける。

Ｐ(α、β)とすると、α＾2＋4β＾2＝4　2＞α＞0、1＞β＞0　としてやればよい。
QR＾2はαとβであらわせるから、最後にαかβのどちらかを消してやると、媒介変数を使ったのと同じ結果になる。

回答No.2

WiredLogic

えっと、x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 の楕円の周上の点Pは、
媒介変数θを使って、x = a*cosθ、y = b*sinθとおけるの知ってますか？
x>0,y>0 なら、0<θ<π/2 です。
(ただし、円のように、OPとx軸のなす角がθになる訳じゃないので、そこには注意)

これを使って、接線の式を求めると、計算が劇的に簡単になります。

質問者さんの置き方でも、答えは出せますが、腕力に近い計算力^^が必要になります。

お礼

なるほど！
詳しい説明、どうもありがとうございました。