数学Cの2次曲線の問題がわかりません。

質問

数学Cの2次曲線の問題がわかりません。

極方程式r=3/(2+sinθ)が表す曲線をCとする。

(1)曲線Cを直交座標の方程式で表し、その概形をかけ。

(2)x軸の正の部分と曲線Cが交わる点をPとする。点Pにおける曲線Cの接線の方程式を求めよ。

(3)曲線Cの第1象限の部分とx軸とよびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

(1)からわかりません。

お願いします！

回答No.2

info22_

>(1)からわかりません。

重症ですね。
やり方を以下に書いておきますので教科書を復習しながらやってみて下さい。
途中計算は所々省略してありますが、自力でやってみて下さい。

(1)
極座標と直交座標の関係について教科書で確認すれば、
　r=√(x^2+y^2),x=rcosθ,y=rsinθ…(A)
と載っていませんか？
これを極方程式に代入してr,θを消去してやれば良いでしょう。
極方程式の分母を払えば
　2r+rcosθ=3
(A)の関係を代入してやると
　2√(x^2+y^2) +x =3
　2√(x^2+y^2)=3-x
√≧0に注意して両辺を自乗して式を整理してやります。
楕円の式になりますから楕円の標準形の式に変形すると
　(1/3)x^2 +(1/4)(y+1)^2=1 …(B)
となります。添付図の黒実線の楕円が曲線Cのグラフ。

(2)
(B)でy=0とおいてxを出してやり正の方をとれば 点P(3/2,0)。
(B)をxで微分して、x,yに点Pの座標(3/2,0)を代入すれば
点Pにおける接線の傾きが求まる。
　(2/3)x+(2/4)(y+1)y'=0
　(2/3)(3/2)+(1/2)y'
　∴y'=-2
点P(3/2,0)を通る接線は
　y=-2(x-(3/2)) ∴y=-2x+3

(3)
図の水色塗潰し領域が求める面積領域Sです。

(B)の式からyを出してxの範囲[0,3/2]で∫すればよいから
　S=∫[0,3/2] { 2√(1-(1/3)x^2)-1} dx
この積分はx=√3cos(t) で置換積分すると積分してやるといいでしょう。
　S=√3∫[π/6,π/2] { 2sin(t) -1}sin(t)dt
（途中計算は自力でやってみて下さい。）
　S=(π/√3)-(3/4)　or (4π(√3)-9)/12

回答No.1

hrsmmhr

y=rsinθ,x=rcosθ,r=√(x^2+y^2)を代入できる形にして代入し、整式だけです
r(2+sinθ)=3ですよね…