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数学の問題です。解き方が分かりません。教えて?

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お礼率 0% (0/1)

xy平面上の曲線Cが媒介変数t(0≦t≦π/2)によって,x=2cost-1,y=sin2t と表されるとき以下の問いに答えなさい。
(1)xの値の範囲を求めなさい。
(2)yをxの式で表しなさい。
(3)t=π/3のときのC上の点をPとし,PにおけるCの接線Lの方程式を求めなさい。
(4)Cの方程式をy=f(x),Lの方程式をy=g(x)とおく,(1)で求めたxの範囲において,f(x)≦が成り立つことを示しなさい。
(5)CとLとχ軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

回答 (全1件)

  • 回答No.1

ベストアンサー率 67% (2650/3922)

(1)
0≦t≦π/2のとき 1≧cos(t)≧0だから
 0≦2cos(t)≦2
x=2cos(t)-1より
 ∴ -1≦x≦1

(2)
x=2cos(t)-1より
 cos(t)=(x+1)/2 ...(A)
0≦t≦π/2なので sin(t)≧0
 sin(t)=√{sin^2(t)}=√{1-cos^2(t)}
(A)を代入
 sin(t)=√{1-((x+1)^2/4)}
    =(1/2)√(3-2x-x^2) ... (B)
(A),(B)より
 y=sin(2t)=2sin(t)cos(t) (∵2倍角の公式より)
  =2*(1/2)√(3-2x-x^2)*(x+1)/2
 ∴y=(1/2)(x+1)√{(3+x)(1-x)}

(3)
 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=2cos(2t)/(-2sin(t))=-cos(2t)/sin(t)
t=π/3のとき
 dy/dx=-(-1/2)/((√3)/2)=1/√3
 x=2cos(π/3)-1=0
 y=sin(2π/3)=(√3)/2
P(0,(√3)/2)
接線L:y=(x/√3) +(√3)/2

(4)
C:y=f(x)=(1/2)(x+1)√{(3+x)(1-x)}
L:y=g(x)=(x/√3) +(√3)/2


>f(x)≦が成り立つことを示しなさい。
不等式が不完全?

正:f(x)≦g(x)が成り立つことを示しなさい。
であるとして
(1)より -1≦x≦1
この範囲で
f(x)≧0,g(x)≧0なので
h(x)=(g(x))^2-(f(x))^2 (-1≦x≦1)
={(1/3)(x^2)+(3/4)+x}-(1/4)((x+1)^2)(x+3)(1-x)
=(1/12)(x^2){3(x+2)^2-2}

-1≦x≦1の範囲でh(x)の最小値を求める。
 h'(x)=(1/12)(2x){3(x+2)^2-2}+(1/12)(x^2){6(x+2)}
=(1/3)x(3x^2+9x+5)
 h'(x)=0の解はx=0,-(9±√21)/6
-1≦x<-(9-√21)/6の時
 h'(x)>0 単調増加
 h(-1)=1/12>0なので h(x)>0
-(9-√21)/6<x<0の時
 h'(x)<0なので単調減少
 h(0)=0なので h(x)>0
x=-(9-√21)/6の時 極大値h(-(9-√21)/6)>0
0<x≦1の時 
 h'(x)>0なので h(x)は単調増加
 h(0)=0なので f(x)>0
x=0の時 h'(0)=0なのでh(x)はx=0で極小値h(0)=0をとる。

以上から-1≦x≦1でh(x)はx=0で最小値h(0)=0をとり、x≠0ではh(x)>0
従って-1≦x≦1の範囲で h(x)=(g(x))^2-(f(x))^2≧0 (等号はx=0の時のみ成立)

-1≦x≦1の範囲で g(x)≧0, f(x)≧0なので
 ∴f(x)≦g(x)

(5)
>CとLとχ軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。
これでは、何処の部分の面積分かりません?
問題に間違いがないかチェック願います。

(1)で求めたxの範囲のCとLで囲まれた部分の面積なら
S=∫[-1,1] |g(x)-f(x)| dx
=∫[-1,1] (g(x)-f(x)) dx
で計算できます。
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