直交曲線を求める問題

質問

Ｘ＾2＋Ｙ＾2＝ａ＾2　・・・(1)
の直交曲線を求めよという問題です。途中まで自分で解いてみたんですがそこからがわかりません。下に自分が解いたものを載せておきます(途中までですが)。

(1)をｘで微分すると
２ｘ＋２ｙｙ'＝０
ここで(1)の曲線郡に属する１つの曲線Ｌ上の1点
Ｐ(x,y)におけるＬの接線の傾きをｍとすると(1)より
２ｘ＋２ｙｍ＝０　・・・(2)
となる。次に点Ｐを通る直交曲線のＬ'の傾きをｍ'とすれば、ｍｍ'＝－１であるからｍ＝－１/ｍ'である。これを(2)に代入すると
２ｘ－２ｙ/ｍ'＝０　・・・(3)
となる。また点Ｐ(x,y)を通る直交曲線Ｌ'の方程式をＹ＝Ｙ(x)とすれば、点ＰでＹ'＝ｍ'である。これを(3)に代入すると
ｘＹ'－ｙ＝０　・・・(4)
となる。(4)は直交曲線の微分方程式であるから、この微分方程式を解くと直交曲線が求まる。

ここまでは解けたんですけど、(4)の微分方程式の解き方がわかりません。ちなみにここまでの考え方であってるんですかね？もっと良い解き方があったら教えてください。お願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

標準的解法は
(A1)　　y'/y = 1/x
から
(A2)　　log y = log x + a　　<==> y = cx
でしょう(a = log c)．
a あるいは c は積分定数．
(4')　　y' = y/x
からも(つまり，微分するのが x で割ったと同じことになる)，
y=cx であるのはすぐにわかります．

また，元の曲線は原点を中心とする円ですから，
それに直交する曲線群は原点を通る直線(つまり，円の直径を延長したもの)
であるのは直感的に明らかでしょう．

お礼

そうですよね。よく考えれば明らかでした。
どうもありがとうございます！！