明けましておめでとうございます！ 二次曲線の問題です！

質問

ａｂ≠０とする時、Ａ（ａ、ｂ）を通り
ｘ＾２/（２－ｔ）　－　ｙ＾２/ｔ　＝１という形の方程式を持つ曲線は二つあり、一つはだ円、一つは双曲線であることを示せ。またＡにおける２曲線への接線は直交する事を示せ！

まず私は題意の式に対して、ｘ＾２とｙ＾２の部分にＡ（a,b)を代入して式を作りました。
⇔a＾２/2-tーb＾２/t ＝１
⇔t＾２＋（a＾２＋ｂ＾２－２）ｔ－２ｂ＾２＝０..(１)

ココまで出来たのですけど、この先が解りませんでした＞＿＜

回答を見たら、続きが
(1)のｔの二次方程式の二つの解ｔ１とｔ２に対して二次曲線が定まるので、よって
ｘ＾２/2-t1 ＋　ｙ＾２/-t1　＝　１　（２）
ｘ＾２/2-t2　ー　ｙ＾２/ｔ2　＝　１。（３）

＜質問１＞
上のような式になるみたいなのですけど、どうしてですか？（１）の式、ｔの二次方程式から二つの解をｔ１とｔ２として、コレを題意の式に代入したら
ｘ＾２/2-t1　ー　ｙ＾２/ｔ１＝１
ｘ＾２/2-t2　ー　ｙ＾２/ｔ２＝１
となって、教科書のと比べると符号とかがちがってます＞＿＜？

その後回答を見ると
ここで、f(0)=-2b＾2(<0) f(2)=2a＾2>0であるから
t1<0, 0<t2<2　よって（２）は楕円、（３）は双曲線を表す。
＜質問２＞t1<0と0<t2<2って何ですか？すごく大事なものに見えますけど。。

＜教科書の続き＞
次に（２）、（３）の交点Ａ（a.b)における接線は
ax/(2-t1) + by/-t1 =1 ,ax/(2-t2) - by/t2 = 1
であるから、傾きはat1/b(2-t1)、at2/b(2-t2)である。
＜質問３＞
傾きはどうしてこうなるんですか？
＜教科書の続き＞
所が、（１）のｆ（ｔ）は、f(t)=(t-t1)(t-t2)となるのでt1t2=f(0)=-2b＾2, (2-t1)(2-t2)=f(2)=2a＾2
よって、傾きの席はat1/b(2-t1)・at2/b(2-t2)=-1
よって接線は直交する。
＜質問４＞
最後４行ゼンゼンわかりません。＞＿＜？？

回答No.3

debut · ベストアンサー

Ｎｏ１です。
あらためて、おめでとうございます！

＞質問なのですけど、
　　これは、ほんとに大まかな放物線でよいのです。
　　f(t)軸（普通はｙ軸）とｔ軸（普通はｘ軸）をかいて、
　　　・ｔ軸と２点で交わる
　　　・下に凸
　　　・f(t)軸のマイナス領域にある点（０,-2b^2）を通る
　　　・第一象限にある点（２,2a^2）を通る
　　を満たしていれば、頂点の場所は気にしなくてもいいです。

　このグラフを描いてみる意味は、（１）の方程式の２つの解が、
　「１つは０より小さい」「１つは０より大きく２より小さい」という
　ことを調べること、つまりt1,t2,2-t1,2-t2の符号を決めることにあり
　ます。
　だから、ｔの係数が複雑だけど気にしないで大雑把にかいてもよいです。

お礼

返事書いていただいてありがとうございました！！
やっと理解する事が出来ました！！
本当にどうもありがとうございました！！！！！

補足

おはようございます！！ありがとうございました！！！
今日は一日頑張ります！！　もし解らなかったらまた質問します！！　返事書いてくれてありがとうございました！！

回答No.2

aqfe

あけましておめでとうございます（＾＾）

＜質問１＞と＜質問２＞
これはt1とt2を求めてから元の式に代入する方がすっきりしますね。
まず
　楕円　：x^2 / α^2 + y^2 / β^2 = 1
　双曲線：x^2 / α^2 - y^2 / β^2 = 1
となる（aとbは問題で使っているので混同を避けるため別の文字を使いました）のですが、x^2とy^2の分母は正でなくてはいけません。

なので、問題のように「2-t」「t」となっているので、当然その正負を考えなくてはいけないのです。

そこで、t1とt2（回答ではt1 < t2 と設定してますね、書いてないけど）の範囲を求める必要があるのですが、

＞ t1<0と0<t2<2

ということはつまり、
　2-t1 > 0 , -t1 > 0
　2-t2 > 0 , t2 > 0
ということを示しています。なので、これを曲線の式に代入して

＞ｘ＾２/(2-t1) ＋　ｙ＾２/-t1　＝　１　（２）
＞ｘ＾２/(2-t2)　ー　ｙ＾２/ｔ2　＝　１。（３）
（↑引用文ですが、カッコつけました。）

となり、「x^2 / (2-t1)」「y^2 /(-t1)」「x^2 / (2-t2)」「y^2 /t2」をともに正にしているのです。

＜質問３＞
＞ ax/(2-t1) + by/-t1 =1
をyについて整理して、
y = -ax/(2-t1) * (-t1)/b + (-t1)
　　= (a*t1)/ b(2-t1) * x - t1
となるからです。

＜質問４＞
2次方程式f(t)=0の2つの解をt1,t2とすると、
　f(t)=(t-t1)(t-t2)=0
は成り立ちます。
というのも、f(t1)=f(t2)=0が成り立つことと、f(t)=(t-t1)(t-t2)ということが同じことだからです。

あとはまずは傾きの積をだして、
　a*t1/b(2-t1)・a*t2/b(2-t2) = a^2 *t1*t2 / b^2 (2-t1)(2-t2)
このt1*t2や(2-t1)(2-t2)を処理するためにf(t)を利用しているというわけです。

「f(t)を利用する」という考え方がよく分からないならば、解と係数の関係
t1*t2 = -2b^2
t1 + t2 = -(a^2 + b^2 -2)
を使っても解けます。
正直、解と係数の関係を利用することと、f(t)を利用するというのはほぼ同じことなんですけどね。

お礼

返事書いていただいて、ありがとうございました！
時間が掛かりましたけど、何度も読み返してやっと理解できました！！　本当にどうもありがとうございました！！！！！

補足

おはようございます！！あと、明けましておめでとうございます！！　昨日返事書いていただいて、ありがとうございました！！まだ、終わってないのですけど、今日頑張って解釈します！　ありがとうございました！！

回答No.1

debut

＜質問１＞は
　教科書では、後のため（正・負の決定を証明しやすくするため？）に
　（２）のような形で書いてあるけど、ｙ^2/-t1は－ｙ^2/t1と同じこと
　だから別にｘ^2/(2-t1)－ｙ^2/t1=1でもいいと思いますが・・

＜質問２＞は
　f(t)=t^2+(a^2+b^2-2)t-2b^2の放物線を描いてみると、f(0)=-2b^2で
　f(0)<0だから、下に凸でf(t)軸（普通のｙ軸になる所）の負の部分で
　交わる放物線になります。
　さて、方程式t^2+(a^2+b^2-2)t-2b^2=0の解は、ｔ軸との交点だから、
　「１つは０より小さく」、「１つは０より大きい」ことが描いた放物線
　からわかります。一方、f(2)=2a^2でf(2)>0なので、「１つは０より大き
　い」といっても２よりは小さいので、「１つは０より大きく２より小さ
　い」と言い換えられます。
　式にすれば、t1<0,0<t2<2となります。これは、（２）や（３）の式の
　符号を決定付ける条件になります。t1<0だから2-t1は正、t1は負（-t1
　は正）。　0<t2<2だから2-t2は正、t2も正。
　したがって、（２）式はｘ^2の項とｙ^2の項の間が＋となって楕円、
　（３）式はｘ^2の項とｙ^2の項の間が－となって双曲線、ということ。

＜質問３＞は
　ｙ＝・・・の形に変形してみてください。ｘの係数が傾きですよね。

＜質問４＞は
　２つの傾きをかけてみると、(t1・t2・a^2)/{b^2(2-t1)(2-t2)}・・（４）
　となります。
　ここで、t1,t2はf(t)=0の２つの解だった（最初に仮定した）ので、f(t)は
　f(t)=(t-t1)(t-t2)・・（５）と表すことができます。そして、f(0)を
　計算すると（５）の式ではt1t2、（１）の式で計算すると-2b^2となる
　ので、t1t2=-2b^2・・（６）
　f(2)を計算すると（５）の式では（2-t1)(2-t2）、（１）の式で計算
　すると2a^2となるので、(2-t1)(2-t2)=2a^2・・（７）
　よって、（６）（７）式を（４）式に代入すると　－１　となる。

以上。ことしもよろしく。

補足

あけましておめでとうございます！！
返事書いていただいてありがとうございました！
今年も宜しくお願いします！！

質問なのですけど、
”f(t)=t^2+(a^2+b^2-2)t-2b^2の放物線を描いてみると”ってありますけど、上のこの式の放物線がどうやって書いたらよいのか解りません＞＿＜ごめんなさい。
なぜかというと、カッコの中に沢山a＾2とかb＾2とか入っているので＠＿＠？？ワカリマセン。
よろしかったら、書き方教えてください。
お願いします！＞＿＜