いろいろな曲線２

質問

1 楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の周上に一定点P_0(x_0,y_0)をとり、楕円上の点P(x,y)を直線P_0Pの傾きtに対応させる。点P_0自体にはそこでの接線の傾きを対応させる。このとき楕円はtの有理関数として媒介変数表示されるが、その具体式を求めよ。

x^2/a^2+y^2/b^2=1とx_0^2+a^2+y_0^2/b^2=1との差をとり、y-y_0=t(x-x_0)を代入すると、x-x_0≠0として
x=(x_0(a^2t^2-b^2)-2a^2ty_0)/(b^2+a^2t^2)
y=(y_0(b^2-a^2t^2)-2b^2tx_0)/(b^2+a^2t^2)
(x=x_0の点でも成立する)
↑
この2式が導出できないでいます。

2 放物線y=x^2/4のx>0の部分にある各点を中心とし、x軸に接する円を描きます。平面上において、このような円板全体の合併で覆われる部分を図示し、その境界線の方程式を求めなさい。

右半平面で、円の中心(t,t^2/4)と放物線の焦点(0,1)との距離が、準線y=-1までの距離に等しいので、これらの円板は一定の円x^2+(y-1)^2=1に外接し、その外側をすべて埋める。左半平面では、これらの円板は{y>2,x<0}を覆う。x_0<0,y_0>2である定点(x_0,y_0)は、十分大きいtに対して、
(x_0-t)^2+(y_0-t^2/4)^2≦t^2/4 ←この不等式が導けません。
を満足する。
境界線の方程式は、
x>0,x^2+(y-1)^2=1とx≦0,y=2

この2箇所が、どこから出てくるのか、どうしてもわかりません。詳しい方いましたら、ヒントか何かお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

1.
例えば、x^2/a^2+y^2/b^2=1に、y=t(x-x_0)+y_0
を代入すれば、ｘの2次方程式ですから、原理的には解けますが、非常に面倒ですよね。

なので、X=x/a,X_0=x_0/a,Y=y/b,Y_0=y/b,T=(b/a)tとおけば、
X^2+Y^2=1,X_0^2+Y_0^2=1,Y-Y_0=T(X-X_0)
となって、条件式からabが消えます。
Y=Y_0+T(X-X_0)をX^2+Y^2=1に代入するとこれはXの2次方程式ですから、解くことができます。X=X_0が解の一つであることを念頭にすれば、さらに解きやすくなると思いますよ。

yの方も同様です。

2.
>(x_0-t)^2+(y_0-t^2/4)^2≦t^2/4
これは、(x_0-t)^2+(y_0-t^2/4)^2≦(t^2/4)^2ですよね？(右辺に^2をつけた)

これを変形すると、
f(t)=(1-y_0/2)t^2-2x_0t+y^2+x^2≦0
となります。
ここでは、y_0>2としていますから、t^2の係数は負になります。
よって、t→∞でf(t)→-∞となりますから、tを十分大きくすれば、f(t)は負の数になります。つまり、
f(t)=(1-y_0/2)t^2-2x_0t+y^2+x^2≦0
を満たす正数ｔが存在します。

ところで、
＞境界線の方程式は、
＞x>0,x^2+(y-1)^2=1とx≦0,y=2
y=0(x≧0)
が抜けてませんか？

お礼

ありがとうございます。
答えの方も、いろいろとミスがあったみたいです。
↓
y=0(x≧0)
が抜けてませんか？
？(右辺に^2をつけた)