二次曲線の問題です

質問

ｙ＾２＋３ｘ＋４ｙ＋１＝０上の点Ｐ（－３、２√３－２）における接線の方程式を求めよ

この問題わかりません＞＿＜　

まず、私は題意の式を整理しました
ｙ＾２＋３ｘ＋４ｙ＋１＝０
⇔（ｙ＋２）＾２－４＋３ｘ＋１＝０
⇔（ｙ＋２）＾２＋３ｘ－３＝０
⇔（ｙ＋２）＾２＋３（ｘ－１）＝０
⇔（ｙ＋２）＾２＝－３（ｘ－１）
よってｙ＾２＝－３ｘの放物線の式とみました。

そのあと、
いまａｘ＾２＋ｂｙ＾２＋２ｑｘ＋２ｆｙ＋ｃ＝０
という曲線が、接線の方程式を求める時に

ａｘ１ｘ＋ｂｙ１ｙ＋ｑ（ｘ１＋ｘ）＋
ｆ（ｙ１＋ｙ）＋ｃ＝０の形にするのを練習しているので、
ｙ＾２＝－３ｘの式を同じようにしてみて＞＿＜
ｙ１ｙ＝－３（1/2x1 ＋1/2x)と変形してみました。

そしてここのｘ１とｙ１に題意のＰの座標
Ｐ（－３、２√３－２）をそれぞれｘ１とｙ１に代入したのですけど、コレを整理しても、教科書の答えになりませんでした。答えは3x+4√3y-15+8√3=0です。

あと、もう一つ質問なのですけど、
もし上の解き方でよかったら、Ｐの座標をｘ１とｙ１に代入した後の式は
　３ｘ－４（√３－１）ｙ－９＝０　でした。

これは、ｙ＾２＝－３ｘの式にＰの座標を代入した結果です。なので、題意のｙ＾２＋３ｘ＋４ｙ＋１＝０の式にしないと駄目だと思い、
ｙ＾２＝－３ｘの式から、平行移動した、
（ｘ、ｙ）＝（１、－２）を足さないと
ダメだと思いました。
これで、いいのでしょうか＞＿＜？？　
もしあっていたら、どうやってこの
＊３ｘ－４（√３－１）ｙ－９＝０の式から
（１、－２）を足した式を書く事ができますか？？？　
このやり方がわからないです＞＿＜
誰か教えてください！

回答No.4

debut · ベストアンサー

これ、
＞いまａｘ＾２＋ｂｙ＾２＋２ｑｘ＋２ｆｙ＋ｃ＝０
＞という曲線が、接線の方程式を求める時に
＞ａｘ１ｘ＋ｂｙ１ｙ＋ｑ（ｘ１＋ｘ）＋ｆ（ｙ１＋ｙ）＋ｃ＝０の形に
＞する
が使えるならば、いきなりこのことを使って求められないでしょうか？

＞Ｐ（－３、２√３－２）をそれぞれｘ１とｙ１に代入した
のは、Ｐがもとの曲線上の点であって、曲線ｙ^2＝－３ｘ上の点ではない
から代入できません。もし代入をするなら、ここで、後半でnana070707さん
がおっしゃるような平行移動、つまりＰをｘに－１を足しｙに２を足して
（－４,２√３)とするならできるでしょう。
また、このときにはｙ１ｙ＝－３（1/2x1 ＋1/2x)の式のｘをｘ－１に、ｙを
ｙ＋２によみかえるというか変換すると言うか、結構ややこしいことに
なってしまいます。

考え方、見方をちょっと難しくとらえてしまったのでしょうか。
数学はいろんな方向から考えられるのも大事ですから、いろいろ考えるの
もいいと思います。いろいろたどって、スマートな解法を探してください。
がんばってください。

お礼

お返事ありがとうございました！！これからも数学について頑張ります！！＞＿＜

回答No.3

oyaoya65

＞ａｘ１ｘ＋ｂｙ１ｙ＋ｑ（ｘ１＋ｘ）＋
ｆ（ｙ１＋ｙ）＋ｃ＝０の形にするのを練習しているので、
この式まではあっていますが、これ以降間違っています。

素直に
ｙ＾２＋３ｘ＋４ｙ＋１＝０
と
ａｘ＾２＋ｂｙ＾２＋２ｑｘ＋２ｆｙ＋ｃ＝０
を比較し
a = 0
b = 1
q = 3/2
f = 2
c = 1
を導き
ａｘ１ｘ＋ｂｙ１ｙ＋ｑ（ｘ１＋ｘ）＋
ｆ（ｙ１＋ｙ）＋ｃ＝０
に代入すれば
(y1+2)y=-(3/2)(x1 + x) - 2 y1 - 1
が出て来ます。
これにx1とy1の式を代入すれば
3x+4√3y-15+8√3=0
が出てきましたよ。

＞　３ｘ－４（√３－１）ｙ－９＝０　でした。

この式にはなりませんでした。

先入観をすて、素直に計算すれば正しい計算結果がでてきます。
がんばって計算の流れを追ってみてください。

お礼

いつもありがとうございます！！今まで、基本の形⇔平行移動したときの形にするッッ。って学んだので、今回のも同様に考えました＞＿＜
返事書いてくれて本当にありがとうございました！！！

回答No.2

Nao_F

ｘとｙを逆転して考えて、ｙに関する２次曲線（ｘ＝－1/3ｙ^2－4/3ｙ－1/3）と考えてみれば話は早くないですか？

ｘ'＝－2/3ｙ－4/3 。ｙは２√３－２だから・・・（以下略）

こういうのはダメでしょうかね？

お礼

ありがとうございました＞＿＜難しくてどうしたらよいか解らなかったですけど、でも参考になりました！！　ありがとうございました♪♪♪

回答No.1

masa072

陰関数の微分をご存知ではないですか？
例えば、y^2=xをxで微分するときに用います。
左辺＝(d/dx)y^2=(dy/dx)(d/dy)y^2=(dy/dx)2y=2yy'
です。
すると、y^2=xをxで微分した結果は、
2yy'=1,y'=1/2y=±1/2*x^(1/2)となります。

同じようにy^2+3x+4y+1=0をxで微分すると、
(d/dx)y^2=(dy/dx)(d/dy)y^2=2yy'
(d/dx)4y=4(dy/dx)(d/dy)y=4y'
なので、
2yy'+3+4y'=0
2(y+2)y'=-3
よって、y'=-3/2(y+2)
(y+2)^2=-3(x-1)より、
y+2=±{-3(x-1)}^(1/2) (x≦1)
x=-3のときy=2*3^(1/2)-2となるのは、y+2={-3(x-1)}^(1/2)のとき
よって、
y'=3/2{-3(x-1)}^(1/2)　(x≦1)
よって、(-3,2*3^(1/2)-2)における接線は、
y-(2*3^(1/2)-2)=3/4*3^(1/2)(x+3)
よって、4*3^(1/2)+3x-15+8*3(1/2)=0となります。

このやり方は円の接線や楕円の接線のときにも応用できるので覚えるといいと思います。

お礼

今回微分は使わないで解く問題なので、せっかく返事頂いたんですけど、使うことは出来ませんでした！！
＞＿＜　でもすごく、参考になりましたので微分の問題として、今度使いたいとおもいます♪♪♪　
返事書いてくれて、本当にありがとうございました！！