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二次曲線の問題です!明けましておめでとうございます!!

点Pが、点Pから放物線y^2=4xに引いた二つの接線が60°の角をなすように動く時、点Pの軌跡を求めよ。 この問題まず、動点をP(X,Y)として、次にPを通過する直線をy=m(x-X)+Yとして、 これをy^2=4xに代入しました!! そしたら普段どおり、長い式が得られました。 m^2x^2-2(m^2X-mY+2)x+(mX-Y)^2=0 そしたら、この式が重解をもてば、”接する”を表すので、判別式b^=acを行ったら Xm^2-Ym+1=0  (1) となりました。 これはmの二次式=つまりmは傾きです。 これが二つ解があります。 ここまで問題集の回答みても同じように、出来たのですけど、この先がどうやって60度のなすように動く点Pの軌跡を求めるのか解りません>_<? 教科書の回答をみたら、突然、m1=tanαと置いてたり、(-90°<α1<α2<90°)という範囲もでてきたり、 続きの部分を問題集の回答みて調べても、 ほとんど、何をしてるのか解りませんでした>_< どなたか教えてください。お願いします! <問題集の回答> m1m2(m1<m2)が二接線の傾きなので m1=tanα1 m2=tanα2 (-90°<α1<α2<90°)とすると tan(α2-α1)=(tanα2-tanα1)/(1+tanα2tanα1) =±√3 ∴m2-m1=±√3(1+m1m2) ∴(m2-m1)^2=2(1+m1m2)^2...(2) ここで(1)についての回と係数の関係を用いて (m2-m1)^2=(m1+m2)^2-4m1m2=(Y^2-4X)/X^2 1+m1m2=(X+1)/X ∴(Y^2-4X)/X^2=3・(X+1)^2 / X^2 ∴Y^2-4X=3X^2+6X+3 これを整理して、点Pの軌跡は次の双曲線となる。 3x^2+10x-y^2+3=0 ∴9/16(x+5/3)^2-3/16(y^2)=1 (答)

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  • 回答No.3

mは傾きですから、Xm^2-Ym+1=0  (1)の2解が2つの傾きを表します。 つまり、m=tanθですから、2つの傾きを m1=tanα1 、m2=tanα2 とすると、tan(α2-α1)=(tanα2-tanα1)/(1+tanα2tanα1)となります‥‥(2)。 この関係は、図を描くと分かると思います。 (1)において、解と係数の関係から、 tanα1+tanα2 =Y/X、tanα1*tanα2 =1/X。 後は、これを(2)に代入するだけです。 この解が分かりにくければ、別解を示します。 2つの接点をA(α^2、2α)、B(β^2、2β)とする。 点A(α^2、2α)における接線は、αy=x+α^2 ‥‥(1)。 同様に、点B(β^2、2β)における接線は、βy=x+β^2 ‥‥(2)。 (1)と(2)の交点が点Pであるから、P(αβ、α+β)となる。 ここで、三角形PABに余弦定理を使うと良い。 (AB)^2=(AP)^2+(BP)^2-2(AP)(BP)cos(π/3)。 又は、(AB)^2=(AP)^2+(BP)^2-2(AP)(BP)cos(2π/3)。 交角が60度であるから、補角の120度も含まれることに注意が必要です。 以下は、自分でやってください。

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返事遅くなってごめんなさい!!あれから、加法定理の部分を復習しています!! m=tanαを忘れていました!!>_<! 数学は一つでも欠けると、前に進んだ時に、混乱する事が多いのですごく大変だとおもいました! でも、皆さんに返事を書いて頂いて、もっと頑張ろうと思います!!本当にどうもありがとうございました!!>_<!!!

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  • 回答No.4

まず、傾きがmということが角度とどう関係するのか見てみましょう。 問題のグラフは忘れて新しくxy座標を書いてください。 原点を通り傾きmの直線:y=mxを書きます。その線上で点P(p,mp)を 取ってみましょう。ついでにそこからx軸上に垂線を下ろします。 点H(p,0)ですね。原点をO としてΔOPHは直角三角形ですから∠POHをαとるすと tanα=mp/p=mと書ける事は理解できるでしょうか?(OH=p、HP=mpですから) つまり傾きmの直線は水平線との角度がαなら tanα=m と書けるのです。(今はx軸で説明しましたが、x軸に平行な線なら どこでも角度はαですし、直線が原点を通っていなくても同じです) ここまで理解ができたなら問題に戻って >Xm^2-Ym+1=0  (1) >となりました。 >これはmの二次式=つまりmは傾きです。 >これが二つ解があります。 いいですね。ここまでは正解です。 二つの直線の傾きをm1,m2とし、それぞれが水平線となす角度を α、βとすると先ほどと同じく m1=tanα・・・・・(2) m2=tanβ・・・・・(3) の関係が成立します。ところで傾きm1とm2の直線がなす角度が60° と問題で指定されているので α-β=±60° ですね。三角関数を思い出してこの関係を式に表すと tan(α-β)=±√3 ということになります。ここで他の回答者さんたちが書いておられる 加法定理で分解したのが解答の方法です。分解してしまえば(2),(3) からそれぞれのtanをm1,m2に変換した(m2-m1)^2=3(1+m1m2)^2という 関係が得られます。(つまり2直線が60°で交わるための条件) Xm^2-Ym+1=0  (1) の2解m1とm2が (m2-m1)^2=3(1+m1m2)^2・・・・・(4) の関係を満たしていればいいのですから 解と係数の関係 m1+m2=Y/X m1m2=1/X を使って(4)からm1,m2を消しているのが解答です。 こういった2直線のなす角度を扱う問題は良く見かけた(と思う)ので 傾きと角度の関係をtanで表す事、加法定理はよく理解して置いてください。

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  • 回答No.2
  • sak_sak
  • ベストアンサー率20% (112/548)

傾きがm1の直線と、x軸のなす角度がαのとき、m1=tanαの関係があります。 tanの加法定理は理解してますか?

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  • 回答No.1

代入しただけでは、角度はでません。 まず、傾きを設定した後で解をさぐりましょう

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