二次曲線の問題です！明けましておめでとうございます！！

質問

点Ｐが、点Ｐから放物線ｙ＾２＝４ｘに引いた二つの接線が６０°の角をなすように動く時、点Ｐの軌跡を求めよ。

この問題まず、動点をＰ（Ｘ，Ｙ）として、次にＰを通過する直線をｙ＝ｍ（ｘ－Ｘ）＋Ｙとして、
これをｙ＾２＝４ｘに代入しました！！

そしたら普段どおり、長い式が得られました。
ｍ＾２ｘ＾２－２（ｍ＾２Ｘ－ｍＹ＋２）ｘ＋（ｍＸ－Ｙ）＾２＝０

そしたら、この式が重解をもてば、”接する”を表すので、判別式ｂ＾＝acを行ったら
Ｘｍ＾２－Ｙｍ＋１＝０　　（１）
となりました。
これはｍの二次式＝つまりｍは傾きです。
これが二つ解があります。

ここまで問題集の回答みても同じように、出来たのですけど、この先がどうやって６０度のなすように動く点Ｐの軌跡を求めるのか解りません＞＿＜？

教科書の回答をみたら、突然、m1=tanαと置いてたり、(-90°＜α1＜α2＜90°）という範囲もでてきたり、
続きの部分を問題集の回答みて調べても、
ほとんど、何をしてるのか解りませんでした＞＿＜
どなたか教えてください。お願いします！

＜問題集の回答＞
m1m2(m1<m2)が二接線の傾きなので
m1=tanα1 m2=tanα2 (-90°＜α1＜α2＜90°）とすると
tan(α2-α1)=(tanα2-tanα1)/(1+tanα2tanα1) =±√3
∴m2-m1=±√３(1+m1m2) ∴(m2-m1)＾2=2(1+m1m2)＾2...(2)

ここで（１）についての回と係数の関係を用いて
(m2-m1)＾2=(m1+m2)＾2-4m1m2=(Y＾2-4X)/X＾2
1+m1m2=(X+1)/X
∴(Y＾2-4X)/X＾2=3・(X+1)＾2 / X＾２
∴Y＾2-4X=3X＾2+6X+3
これを整理して、点Ｐの軌跡は次の双曲線となる。
３ｘ＾２＋１０ｘ－ｙ＾２＋３＝０
∴9/16(x+5/3)＾2-3/16（ｙ＾２）=1 (答）

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

ｍは傾きですから、Ｘｍ＾２－Ｙｍ＋１＝０　　（１）の2解が2つの傾きを表します。
つまり、m=tanθですから、2つの傾きを m1=tanα1 、m2=tanα2 とすると、tan(α2-α1)=(tanα2-tanα1)/(1+tanα2tanα1)となります‥‥(2)。
この関係は、図を描くと分かると思います。
(1)において、解と係数の関係から、
tanα1＋tanα2 ＝Ｙ/Ｘ、tanα1*tanα2 ＝1/Ｘ。
後は、これを(2)に代入するだけです。

この解が分かりにくければ、別解を示します。

2つの接点をＡ(α＾2、2α)、Ｂ(β＾2、2β)とする。
点Ａ(α＾2、2α)における接線は、αy＝x＋α＾2　‥‥(1)。
同様に、点Ｂ(β＾2、2β)における接線は、βy＝x＋β＾2　‥‥(2)。
(1)と(2)の交点が点Ｐであるから、Ｐ(αβ、α＋β)となる。
ここで、三角形ＰＡＢに余弦定理を使うと良い。
(ＡＢ)＾2＝(ＡＰ)＾2＋(ＢＰ)＾2-2(ＡＰ)(ＢＰ)cos(π/3)。
又は、(ＡＢ)＾2＝(ＡＰ)＾2＋(ＢＰ)＾2-2(ＡＰ)(ＢＰ)cos(2π/3)。
交角が60度であるから、補角の120度も含まれることに注意が必要です。

以下は、自分でやってください。

お礼

返事遅くなってごめんなさい！！あれから、加法定理の部分を復習しています！！　ｍ＝tanαを忘れていました！！＞＿＜！　数学は一つでも欠けると、前に進んだ時に、混乱する事が多いのですごく大変だとおもいました！　でも、皆さんに返事を書いて頂いて、もっと頑張ろうと思います！！本当にどうもありがとうございました！！＞＿＜！！！

回答No.4

age_momo

まず、傾きがmということが角度とどう関係するのか見てみましょう。
問題のグラフは忘れて新しくxy座標を書いてください。
原点を通り傾きmの直線：y=mxを書きます。その線上で点P(p,mp)を
取ってみましょう。ついでにそこからx軸上に垂線を下ろします。
点H(p,0)ですね。原点をO としてΔOPHは直角三角形ですから∠POHをαとるすと
tanα=mp/p=mと書ける事は理解できるでしょうか？(OH=p、HP=mpですから)
つまり傾きmの直線は水平線との角度がαなら

tanα=m

と書けるのです。(今はx軸で説明しましたが、x軸に平行な線なら
どこでも角度はαですし、直線が原点を通っていなくても同じです)
ここまで理解ができたなら問題に戻って

>Ｘｍ＾２－Ｙｍ＋１＝０　　（１）
>となりました。
>これはｍの二次式＝つまりｍは傾きです。
>これが二つ解があります。

いいですね。ここまでは正解です。

二つの直線の傾きをm1,m2とし、それぞれが水平線となす角度を
α、βとすると先ほどと同じく
m1=tanα・・・・・(2)
m2=tanβ・・・・・(3)
の関係が成立します。ところで傾きm1とm2の直線がなす角度が60°
と問題で指定されているので
α-β=±60°
ですね。三角関数を思い出してこの関係を式に表すと
tan(α-β)=±√3
ということになります。ここで他の回答者さんたちが書いておられる
加法定理で分解したのが解答の方法です。分解してしまえば(2),(3)
からそれぞれのtanをm1,m2に変換した(m2-m1)＾2=3(1+m1m2)＾2という
関係が得られます。(つまり2直線が60°で交わるための条件）

Ｘｍ＾２－Ｙｍ＋１＝０　　（１）
の2解m1とm2が
(m2-m1)＾2=3(1+m1m2)＾2・・・・・(4)
の関係を満たしていればいいのですから
解と係数の関係
m1+m2=Y/X
m1m2=1/X
を使って(4)からm1,m2を消しているのが解答です。

こういった2直線のなす角度を扱う問題は良く見かけた(と思う)ので
傾きと角度の関係をtanで表す事、加法定理はよく理解して置いてください。

お礼

返事遅くなってごめんなさい！！あれから、加法定理の部分を復習しています！！　ｍ＝tanαを忘れていました！！＞＿＜！　数学は一つでも欠けると、前に進んだ時に、混乱する事が多いのですごく大変だとおもいました！　でも、皆さんに返事を書いて頂いて、もっと頑張ろうと思います！！本当にどうもありがとうございました！！＞＿＜！！！

回答No.2

sak_sak

傾きがm1の直線と、x軸のなす角度がαのとき、m1=tanαの関係があります。

tanの加法定理は理解してますか?

お礼

返事遅くなってごめんなさい！！あれから、加法定理の部分を復習しています！！　ｍ＝tanαを忘れていました！！＞＿＜！　数学は一つでも欠けると、前に進んだ時に、混乱する事が多いのですごく大変だとおもいました！　でも、皆さんに返事を書いて頂いて、もっと頑張ろうと思います！！本当にどうもありがとうございました！！＞＿＜！！！

回答No.1

dulatour

代入しただけでは、角度はでません。
まず、傾きを設定した後で解をさぐりましょう

お礼

返事遅くなってごめんなさい！！あれから、加法定理の部分を復習しています！！　ｍ＝tanαを忘れていました！！＞＿＜！　数学は一つでも欠けると、前に進んだ時に、混乱する事が多いのですごく大変だとおもいました！　でも、皆さんに返事を書いて頂いて、もっと頑張ろうと思います！！本当にどうもありがとうございました！！＞＿＜！！！