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tan(α-β)を使う問題
曲線C:y=x^2 直線l:y=x-3/4があり、直線l上に点Pをとり、点Pは(k,k-3/4)となる。 点Pから曲線Cにひいた2本の接線のなす角がπ/3の時、kの値を求めよ 接線の式を出すと、s=k-√(k^2-k+3/4) t=k+√(k^2-k+3/4) とすると、y=2sx-s^2…(1) y=2tx-t^2…(2) 2接線の交点を通り、x軸に平行な直線をmとする。 mと(1)、(2)がなす角をそれぞれα、βとすると、 tan(α-β)=tan(π/3) この式をとけば正解でしょうか? それともtan(α-β)=tan(2π/3) を解くんでしょうか? どっちを使うか解説お願いします! ちなみにtan(α-β)=(2k-1)+2/(2k-1)となりました。
- 0315a
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No.4です。訂正します。 tan(α-β)=2(s-t)/(1+4st)={2√(k^2-k+3/4)}/(2k-1)でした。 この問題は、解と係数の関係を使うべきです。 接点のx座標は x^2-2kx+k-3/4=0の解です。 その解をs,tとすると、接線の傾きは 2s,2t となります。 tanα=2s,tanβ=2t とすると |α-β|=π/3 または |α-β|=2π/3 となればよいわけです。 2π/3=π-π/3 であることから、tan(2π/3)=-tan(π/3)であるので |tan(α-β)|=tan(π/3) を解けばよいことになります。 この段階で、sとt、αとβの大小関係は気にしなくてもよいことになります。
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- kumipapa
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#5,6です。またまたごめんなさい。間違い訂正します。 > #5です。ごめんなさい、間違い訂正します。 >> tan(α-β)=2 ( s - t ) / ( 1 - 4st )=2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1) > は > tan(α-β)=2 ( t - s ) / ( 1 - 4st )=2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1) > です。 は、 tan(α-β)=2 ( t - s ) / ( 1 + 4st )=2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1) でした。本当にオバカ。
- kkkk2222
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ANo.7 です。 怪しいとは思っていましたが、 やはり、間違っていました。 ±が必要でした。 #1では、 ±(2k-1)√3=√{4(k^2)-4k+3)} #2では、 ±√3=2|s-t)|/(1+4st) ±(1+4st)√3=2√{((s+t)^2)-4st} ±(1+(4k-3))√3=2√{4(k^2)-(4k-3)} ±(2k-1)√3=√{4(k^2)-(4k-3)}
- ka1234
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こんにちは。 座標平面上で角度を扱う場合、 (1)tanα傾き派 (2)cosα内積派 の2つの方針が考えられます。(新数学演習(東京出版)より) 通常、内積よりも傾きの方が「計算が楽」であるが「場合分けが面倒」 と言われています。 質問者さまは「傾き」に関する質問をお求めですが、 「内積」についての別解をやってみます。 記号は同じにしておきます。 [別解] y'=2x より、2つの接ベクトルは、 (1, 2s), (1, 2t) となるから、 これらの内積を考えて、 (1, 2s)・(1, 2t)=|(1, 2s)||(1, 2t)|cos60 (またはcos120) 両辺を2乗すると、 4(1+4st)^2=(1+4s^2)(1+4t^2) s+t=2k, st=k-(3/4) を代入して整理すると(→※)、 32k^2-32k=0 となるので、 (答え) k=0, 1 ※ この2つの関係式を導くのに、計算はしていません。 「放物線の2接線の交点の公式」を使っています。
- kkkk2222
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>>π/4<β<π/2<α<5π/4 既に解説済みですが手元の図を仔細に眺めて見れば、 意味が判るのでは・・・。 されど、この事は問題を解くに関して、関係がないと思います。 これは、貴殿が60度に限定したことから始まっています。 問題文に書かれている条件からは、 120度を除く事は読み取れません。 ベクトルならまだしも、 二直線のなす角は2つあるのが基本です。 もちろん、文脈によっては片方に限定される場合もあります。 60度と120度のふたつを算出する方法としては、 <場合分け>と<式の条件を緩める>があります。 わかり難い時は、場合分け。 面倒な時は、条件を緩める。 また、 × tan(α-β)=(2k-1)+2/(2k-1) × tan(α-β)={√( (k^2)-k+(3/4) )}/(2k-1) ○ tan(α-β)={√( 4(k^2)-4k+3 )}/(2k-1) #1<式の条件を緩める>て、 と言っても、式上では何の変化もありません。 (2k-1)√3=√{4(k^2)-4k+3)} 3{4(k^2)-4k+1}=4(k^2)-4k+3) 3{4(k^2)-4k+1}=4(k^2)-4k 4k(k-1)=0,,,,,,<k=0,1> 図から明らかではありますが、検算を兼ねて、 k=0の時は、 (p^2)=(3/4)),,,s=-√3/2,,,t=√3/2 <#2を先に書いたのでpになってしました。 <(p^2)-2kp+(k-(3/4))=0を解いたときの、s,tです。 <#2を参照して下さい。 2(s-t)/(1+4st)=√3 となり、 60度の場合で、 k=1の時は、 (p^2)-2p+(1/4)=0 s=(2-√3)/2,,,t=(2+√3)/2 2(s-t)/(1+4st)=-√3 となり、 120度の場合と・・・。 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, #2 (別解) f(x)=(x^2) f'(x)=2x f'(p)=2p,接点は(p,(p^2)) 接線の式は、 y=2px-(p^2) これが、(k,k-(3/4))通るので、 k-(3/4)=2kp-(p^2) pについて整理して、 (p^2)-2kp+(k-(3/4))=0 接点はふたつあるので、 S(s,(s^2)),f'(s)=2s T(t,(t^2)),f'(t)=2t s<t として tanα=2s,,,tanβ=2t tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) ±√3=2(s-t)/(1+4st) √3=2|s-t)|/(1+4st) (1+4st)√3=2√{((s+t)^2)-4st} 解と係数の関係より (s+t)=2k,,,st=(k-(3/4)),,,4st=(4k-3) (1+(4k-3))√3=2√{4(k^2)-(4k-3)} (2k-1)√3=√{4(k^2)-(4k-3)} 3{4(k^2)-4k+1}=4(k^2)-4k+3) 3{4(k^2)-4k+1}=4(k^2)-4k 4k(k-1)=0,,,,,,<k=0,1>・・・・。
- kumipapa
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#5です。ごめんなさい、間違い訂正します。 > tan(α-β)=2 ( s - t ) / ( 1 - 4st )=2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1) は tan(α-β)=2 ( t - s ) / ( 1 - 4st )=2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1) です。
- kumipapa
- ベストアンサー率55% (246/440)
こんにちは。 > 接線の式を出すと、s=k-√(k^2-k+3/4) t=k+√(k^2-k+3/4) > とすると、y=2sx-s^2…(1) y=2tx-t^2…(2) で、 > x軸に平行な直線をmとする。 > mと(1)、(2)がなす角をそれぞれα, βとすると、 ということですが、まず、接線とx軸とのなす角度αは-π/2<α<π/2の範囲で決めるということにしてしまいたいと思います(つまり、接線の傾きが正ならα>0、負ならα<0)。また、t>sより(2)の方が(1)より傾きは大きく、-π/2<β<α<π/2とα、βをきめて、tanα=2t , tanβ=2sとします。 こうしますと、tan(α-β) = tan(π/3) を解くべきか、tan(α-β) = tan(2π/3)を解くべきかというご質問は、「2本の接線のなす角がπ/3の時」の「なす角」がどこの角度の事?っていう話になるような気がします。 1) 2本の接線が直線m(x軸)となす角の差がπ/3であるならば、tan(α-β) = tan(π/3)を解く。 2) 2本の接線が曲線Cを見込む角(曲線Cとの交点をQ,Rとしたときの∠QPR)がπ/3であるならばtan(α-β) = tan(2π/3)を解く。 ということになるのでは? tan(α-β)=2 ( s - t ) / ( 1 - 4st )=2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1) (2k-1=0になるのはα-β=π/2のとき) ですので、 1)の場合 2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)=√3 を解いて(2k-1 > 0の条件下で両辺2乗して)k=1を得ます。2本の接線の傾きは2±√3になります。 2)の場合 2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)= -√3を解いて(2k-1<0の条件下で)、k=0を得ます。2本の接線の傾きは±√3になります。 計算間違ってたらすみません。確認お願いします。
- tarame
- ベストアンサー率33% (67/198)
>tan(α-β)=tan(π/3) この式をとけば正解でしょうか? >それともtan(α-β)=tan(2π/3) を解くんでしょうか? どちらも、解かなければなりませんが、 tan(180-θ)=-tanθ であることから |tan(α-β)|=tan(π/3)を解いてもよいかと思います。 >ちなみにtan(α-β)=(2k-1)+2/(2k-1)となりました これ、違いますよ! 接線の傾きが、2s(=tanα),2t(=tanβ)であることから tan(α-β)=2(s-t)/(1+4st)={√(k^2-k+3/4)}/(2k-1)ですね!
- joggingman
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>π/4<β<π/2<α<5π/4となるのはなぜでしょうか? s<tなので、極限を考えると、 k -∞・・・0・・・+∞ α π/2・・・2π/3・・・5π/4 β π/4・・・π/3・・・π/2 になるはずです。
- take_5
- ベストアンサー率30% (149/488)
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- joggingman
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s、tを質問者さんのようにとると、 π/4<β<π/2<α<5π/4 となるので、 α-β=π/3でしょう。 tanα=2s、tanβ=2t tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)=tan(π/3)=√3 を解けばいいんじゃないでしょうか? k=0 y=-(√3)x-3/4 y=+(√3)x-3/4 となり、確かに、2本の接線のなす角はπ/3=60°となります。
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