x^2+y^2-Cx+Cy=0に直交する曲線

質問

g(x,y,C)=x^2+y^2-Cx+Cy＝０ に直交する曲線f(x,y,D)を求めたいのですが，
C,Dは実数パラメータ

g(x,y,C)より,
dy/dx=(C-2x)/(C+2x) だから

f(x,y,D)の傾きをdy/dxとすると
dy/dx=-(C+2x)/(C-2x)

となり，C=2(xdy-ydx)/(dx+dy) を
g(x,y,C)=0に代入して解こうとしたのですが，
うまく解けません．

解き方が間違っているのでしょうか．
どうかよろしくお願いします．

回答No.5

ferien · ベストアンサー

ANo.4です。　ANo.3の続きです。
＞両辺をｘ^2で割ると、
＞｛－１＋２(y/x)＋(y/x)^2｝dy/dx＋｛１＋２(y/x)－(y/x)^2｝＝０
＞あとは、ｔ＝y/xとおいて積分すればいいと思います。
ｙ＝ｘｔより、dy/dx＝ｔ＋ｘ(dt/dx)

（－１＋２ｔ＋ｔ^2）・｛ｔ＋ｘ(dt/dx)｝＋（１＋２ｔ－ｔ^2）＝０
（－１＋２ｔ＋ｔ^2）×ｘ(dt/dx)＝－１－２ｔ＋ｔ^2＋ｔ－２ｔ^2－ｔ^3
　　　　　　　　　　　　　　　　＝－１－ｔ－ｔ^2－t^3
ｄｘ／ｘ＝｛（－１＋２ｔ＋ｔ^2）／－（１＋ｔ＋ｔ^2＋ｔ^3）｝ｄｔ
右辺
＝｛（１－２ｔ－ｔ^2）／（１＋ｔ^2＋ｔ＋ｔ^3）｝ｄｔ
＝｛（１－２ｔ－ｔ^2）／（ｔ＋１）（ｔ^2＋１）｝ｄｔ
部分分数に分けると
＝ｄｔ／（ｔ＋１）－２ｔｄｔ／（ｔ^2＋１）
＝ｄｔ／（ｔ＋１）－｛（ｔ^2＋１）'／（ｔ^2＋１）｝ｄｔ
積分すると、
＝log（ｔ＋１）－log（ｔ^2＋１）
両辺を積分して、
log｜ｘ｜＝log（ｔ＋１）－log（ｔ^2＋１）＋Ｃ
　　　　　＝log｛ｅ^C（ｔ＋１）／（ｔ^2＋１）｝
ｘ＝±ｅ^C（ｔ＋１）／（ｔ^2＋１）
±ｅ^C＝Ｄとおいて、ｔを元に戻すと、
ｘ＝Ｄ｛(y/x)＋１｝／｛（y^2/x^2）＋１｝
ｘ＝Ｄｘ^2（ｘ＋ｙ）／ｘ（x^2＋ｙ^2）
ｘ^2（ｘ^2＋ｙ^2）＝Ｄｘ^2（ｘ＋ｙ）
よって、ｘ^2＋ｙ^2＝Ｄ（ｘ＋ｙ）より、
ｘ^2＋ｙ^2－Ｄｘ－Ｄｙ＝０

が求める曲線になりました。計算を確認してみて下さい。

回答No.6

stomachman

「原点(0,0)で直線L={(x,y) | x=y}と接するような任意の円gのすべてと、至るところ直交するような曲線fを求む」という問題ですね。
　ちょっと図を描いて幾何学で考えれば、明らかに答は「原点でLと垂直に交わる任意の円f」。fはどのgとも、原点を含む2点で互いに垂直に交差する。

　が、式だけでこれを導くのは大変ですねえ。最初に座標系を45度回す変換
　　x=(u+v)/2, y=(u-v)/2
をして、Lをu軸に、gを
　　u^2 + (v-C)^2 = C^2
に写しました。ご質問にあるやり方で、
　　dv/du = (v-C)/u
より
　　C = v-u(dv/du)
なのでgに代入して
　　u^2 - v^2 +2(uv)(dv/du)= 0
という微分方程式が得られます。（が、まともに解くのはメンドそう。）

　代わりに、幾何学的に分かる答である円f
　　(u-D)^2 + v^2 = D^2
を微分した
　　2u-2D +2v(dv/du) = 0
を微分方程式の左辺に代入してみると、方程式を満たすのが確認できました。

回答No.4

ferien

ANo.3です。済みません。完全に間違った書き込みをしていました。ANo.3は削除して下さい。

C=2(xdy-ydx)/(dx+dy) を
g(x,y,C)=0に代入して解こうとしたのですが，
うまく解けません．

＞解き方が間違っているのでしょうか．
解き方は合っていると思います。代入について

＞dy/dx=-(C+2y)/(C-2x)
だと思いますが、
dy/dx＝ｙ'とおいて考えた方が代入して整理しやすいと思います。
ｙ'＝-(C+2y)/(C-2x)より、
ｙ'（Ｃ－２ｘ）＝－Ｃ－２ｙ
（ｙ'＋１）Ｃ＝２（ｘｙ'－ｙ）
Ｃ＝２（ｘｙ'－ｙ）／（ｙ'＋１）を代入して、
g(x,y,C)=x^2+y^2-Cx+Cy＝０より、
ｘ^2＋ｙ^2＋Ｃ（－ｘ＋ｙ）＝０
（ｘ^2＋ｙ^2）（ｙ'＋１）＋（－ｘ＋ｙ）・２（ｘｙ'－ｙ）＝０
（ｘ^2＋ｙ^2－２ｘ^2＋２ｘｙ）ｙ'＋（ｘ^2＋ｙ^2＋２ｘｙ－２ｙ^2）＝０
（－ｘ^2＋２ｘｙ＋ｙ^2）dy/dx＋（ｘ^2＋２ｘｙ－ｙ^2）＝０
になると思います。
両辺をｘ^2で割ると、
｛－１＋２(y/x)＋(y/x)^2｝dy/dx＋｛１＋２(y/x)－(y/x)^2｝＝０
あとは、ｔ＝y/xとおいて積分すればいいと思います。

ここまで計算を確認してみて下さい。（積分はちょっと大変そうです。）

回答No.3

ferien

g(x,y,C)=x^2+y^2-Cx+Cy＝０ に直交する曲線f(x,y,D)を求めたいのですが，
C,Dは実数パラメータ

g(x,y,C)より,
＞dy/dx=(C-2x)/(C+2x) だから
dy/dx=(C-2x)/(C+2y) ではないかと思います。

f(x,y,D)の傾きをdy/dxとすると
＞dy/dx=-(C+2x)/(C-2x)
だから、
dy/dx=-(C+2y)/(C-2x)を微分方程式として解けばいいと思います。
dy/(C+2y)＝－dx/(C-2x)
(1/2)×｛(C+2y)'／(C+2y)｝dy＝(1/2)×｛(C-2x)'／(C-2x)｝dxだから、
｛(C+2y)'／(C+2y)｝dy＝｛(C-2x)'／(C-2x)｝dx
両辺を積分して、
log｜Ｃ＋２ｙ｜＝log（Ｃ－２ｘ）＋Ｃ'
　　　　　　　＝log｛（Ｃ－２ｘ）・ｅ^C'｝　
｜Ｃ＋２ｙ｜＝（Ｃ－２ｘ）・ｅ^C'
Ｃ＋２ｙ＝±ｅ^C'（Ｃ－２ｘ）
±ｅ^C'＝Ｄとおくと、
Ｃ＋２ｙ＝Ｄ（Ｃ－２ｘ）
２Ｄｘ＋２ｙ＋Ｃ－ＤＣ＝０より、
Ｄｘ＋ｙ＋（Ｃ－ＤＣ）／２＝０
Ｄ1＝Ｄ，Ｄ2＝（Ｃ－ＤＣ）／２などとおくと、
Ｄ1ｘ＋ｙ＋Ｄ2＝０　　　で直線を表しています。

でどうでしょうか？

回答No.2

alice_44

変形途中の式に誤字があるようですが、
f=0 を C=… と書いた式は、それでよいと思います。
それを g=0 へ代入した式を dy/dx=… の形に整理
してみると、同次形微分方程式になっていますから、
z=y/x と置いて y を消去すれば、変数分離形になって、
解けます。

回答No.1

asuncion

＞g(x,y,C)=x^2+y^2-Cx+Cy＝０ に直交する曲線f(x,y,D)

gって、円の方程式ですよね（間違っていたらすみません）。
この円を構成する(x,y)の組合せは無数にあるはずですので、
この円に直交する曲線（今ひとつピンと来ないですが）も無数にあるのではないでしょうか（間違っていたらすみません）。

円上の特定の点に直交する直線、ならば一意に決まると思うのですが…（間違っていたらすみません）。

それとも、質問そのものが、私なんかの知識ではとうてい解くことのできない高レベルの問題なのでしょうか。