確率変数XとYの確率密度関数と要約文
- (a) 確率密度関数のcを求めるには、fが確率密度関数であるための条件を満たす必要があります。
- (b) P(X<1, Y>1/2)を求めるためには、確率密度関数を積分して範囲を求めます。
- (c) Xの確率密度関数を求めるには、f(x,y)に関してyを積分します。
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確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数,Xの確率密度関数は?
宜しくお願い致します。 [Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere a) Find c so that f is indeed a probability density function. b) Find P(X<1,y>1/2). c) Find the probability density function of X. [問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。 (a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。 (b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。 (c) Xの確率密度関数を求めよ。 [(a)の解]fが本当に確率密度関数なら∫_y∫_xf(x,y)dx=1. ∫[0..2]∫[y..0]cxy^2dxdy=∫[0..2]cy^2[x^2/2]^y_0dy =∫[0..2]cy^2(y^2/2)dy=c/2∫[0..2]y^4dy=c/2[y^5/5]^2_0 =c/2(32/5)=32c/10=1. ∴c=5/16 [(b)の解]P(X<1,Y>1/2)=∫[1/2..2]∫[0..1]5xy^2/16dxdy =∫[1/2..2]5y^2/16[x^2/2]^1_0dy =∫[1/2..2]5y^2/16・(1/2)dy =5/32∫[2..1/2]y^2dy =5/32[y^3/3]^2_1/2 =5/32[8/3-1/8/3] =0.41 [(c)の解]f_x(X)=∫_yf(x,y)dy=∫[0..2]5xy^2/16dy =5x/16[y^3/3]^2_0=5x/16(8/3)=5x/6 で(c)の解が間違いだったのですが正解が分かりません。 正解はどのようになりますでしょうか?
- AkiTamura
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質問者が選んだベストアンサー
うーん、前回の質問といい、なぜ前の2問ができてこれを間違うのでしょう? 発展問題というより、視点を変えただけで難易度も考え方も同じです。 今回は前回よりは勘違い度が低いのできちんと書いておきます。 f(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0) なのですからyの積分範囲は下限x,上限2ですね。 5x/16∫[x,2]y^2dy=5x/16 * [y^3/3]^2_x=5x/48 * (8-x^3) (=5x/6-5x^4/48)
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