同時確率密度関数の求め方。

質問

同時確率密度関数（joint density function)の求め方が分かりません。
X1.....Xnが独立していて、それぞれXi~Bin(n,p)になっている、

fXi(xi) = (nCxi)*P^xi(1-p)^(n-xi)

この関数の、確率密度関数f(x1....xn|n,p)を求めろとのことですが,これは普通に１からｎまでの、確立を求める関数をもとめろ、といってるだけですよね？そうすると。

Πf(x1....xn|n,p)　＝(nCΣxi)P^(Σxi)(1-ｐ）^(n-Σxi)

でいいんでょうか。。。これからnが分かっている場合、最尤法のpが（ｐハット）＝（x バー）/n
になることを証明しなくてはなりません。。昨日から、ずっと調べたり考えたりしてても、わかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

takurinta · ベストアンサー

X_iが互いに独立なので、密度関数の積が同時密度になります。つまりΠf_X_i(x_i) が求めている同時密度関数そのものです。
X_nまでだとかえって紛らわしいので、X_kまでの同時密度として表現すれば、
Π(nCx_i) * p^(Σx_i) * (1-p)^(kn-Σx_i)
のようになると思います。あとは地道に計算すればいいのではないかと思います。
最尤法ということは、Π(nCx_i)の部分は定数と考えてよくて、密度関数の対数をとってからpで微分すると楽に求まりそうです。