確率密度関数の求め方を教えてください。

質問

確率密度関数の求め方を教えてください。

期待値μ、分散σ^2 の正規分布を N(μ,σ^2)とする。

X～N(0,1)のとおき、確率変数 Y=X^2 の確率密度関数を求めよ。

という問題があるのですがよくわかりません。
どなたか解法と解答を教えてください。

お願いします。

回答No.1

reiman

h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
δ:δ関数
Q:Yの分布関数
q:Yの密度関数
Q(y)
=∫[x^2<y]dx・N[0,1](x)
=∫[-∞,∞]dx・h(y-x^2)・N[0,1](x)
y<0のときq(y)=0
0<yのとき
q(y)=Q'(y)
=∫[-∞,∞]dx・h'(y-x^2)・N[0,1](x)
=∫[-∞,∞]dx・δ(y-x^2)・N[0,1](x)
=2・∫[0,∞]dx・δ(y-x^2)・N[0,1](x)
=2・∫[0,∞]dt/(2・√t)・δ(y-t)・N[0,1](√t)
=∫[0,∞]dt/√t・δ(y-t)・N[0,1](√t)
=N[0,1](√y)/√y