密度関数を求める

質問

確率空間(Ω,F,P)上に各t > 0に対して確率変数Bt : Ω → Rがあり,t > s > 0のと き,(Bs, Bt) の分布(結合分布,同時分布)は密度関数が
ρs,t(x,y) = 􏰂 1 e－x2/(2s)－(x－y)2/(2(t－s)) 2π s(t－s)
で与えられる 2 次元正規分布(R2 上の正規分布)であるとする.(そのような無数の確率 変数が矛盾無く定義できることは知られていて,ここでは既知とする.)
問 (1) Bt の分布の密度関数 ρt(x)はどうやって求めればいいのでしょうか？
解き方が分かりません。何を参考にすべきでしょう？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

あまり、問題の細部に囚われずに、
何すりゃいいのかをザックり捉えましょう。

(Bs,Bt) の同時確率密度が ρs,t(x,y) なら、
Bt の密度関数は、ρt(x) = ∫ ρs,t(x,y) dy
ただし、∫ … dy の積分範囲は y ∈ Ω の全域です。

右辺の具体的な積分は、
(一次元)標準正規分布の確率密度に
なぜ、係数 1/√(2π) がついているのか
を理解していれば、計算できると思います。