密度関数の求め方（確率論）

質問

問題
X,Y：標準正規分布N(0,1)を分布にもつ独立な実確率変数とします
このときZ＝X/Yの分布は１/π(１＋x^2)を密度関数に持つことを示せ

というものなんですが、
これはいわゆるCauchy分布です
Zの分布関数を地道に計算すればいいんですが、
どうもうまくできません。
計算の経過も丁寧に解説してくれる人がいたらどうかお願いします

ただ、公式を適用するとかいうのはなしでお願いします

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

なんだか難しい話をなさってますが、単なる変数変換の問題でしょう？超関数を使わなくても計算できますし、分布関数を微分する必要もないと思います。
　確率変数X,Yの関数であるZ(X,Y)の確率密度を求めるには、
p(X,Y)dXdY = f(Z,U)dZdU
となるように(X,Y)を(Z,U)に写像してやって、
q(Z)=∫f(Z,U)dU (U=-∞～∞）
を計算すれば良い。それだけです。

dXdY = |(∂X/∂Z)(∂Y/∂U)-(∂X/∂U)(∂Y/∂Z)| dZdU
ですから、
U=Y
とおくと(X,Y)と(Z,U)は１対１の写像であり、
dXdY = |Y|dZdU
従って、
f(Z,U)=|Y|p(X,Y)
であり、
q(Z)=∫|Y|p(X,Y) dY (Y=-∞～∞）
の計算です。
P(X,Y)=φ(X)φ(Y), φ(x)=(1/√(2π)) exp(-x^2/2)
だから、
P(X,Y)=exp(-(X^2+Y^2)/2)/(2π)
よって、
q(Z)=(1/(2π))∫|Y| exp(-(1+Z^2)(Y^2)/2) dY (Y=-∞～∞）
=2(1/(2π))∫Y exp(-(1+Z^2)(Y^2)/2) dY (Y=0～∞）
= 1/(π(Z^2+1))

お礼

どうも細かいところまできちんと書いてくださってありがとうございました
このやり方だと分布関数の微分についての問題も解決されました

どうもありがとうございました

回答No.4

nuubou

Ｇ（ｚ）＝∫（－∞～∞）ｄｘ・∫（－∞～∞）ｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）・ｈ（ｚ－ｘ／ｙ）
のように使われているのはどうしてなのですか？
なんか使われる場所が違うように見えてしかたがないのですが・・
もしよろしければ教えてください：

Ｇ（ｚ）＝∫∫（ｘ／ｙ＜ｚ）ｄｘｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）
と
Ｇ（ｚ）＝∫∫（ａｌｌ）ｄｘｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）・ｈ（ｚ－ｘ／ｙ）
は同じに見えませんか？
私には同じに見えますけど
ｚ＜ｘ／ｙならばｈ（ｚ－ｘ／ｙ）＝０でありｘ／ｙ＜ｚならばｈ（ｚ－ｘ／ｙ）＝１であるから問題ないような気がしますが
ｈは超関数と見なすことはできますが本来超関数とは違う素直な関数ですよ
考えすぎているような気がしますが

どうも高度な質問で私の能力の範囲を超えているので
大御所のｍｏｔｓｕａｎさんに登場願おうではありませんか？
ｍｏｔｓｕａｎさん後お願いします

補足

どうも話が関係ないとこにいっちゃいそうなので
また違う機会に質問として出したいと思います

いろいろありがとうございました

回答No.3

nuubou

No.3の方法を使えば分布関数を求めずに直接密度関数を求めることができる
ただしδ関数とｈ関数について多少知っていないといけない

Ｘの密度関数をｐ（ｘ）とすればＹの密度関数はｐ（ｙ）であり
Ｚの分布関数Ｇ（ｚ）は
Ｇ（ｚ）＝∫∫（ｘ／ｙ＜ｚ）ｄｘｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）
＝∫（－∞～∞）ｄｘ・∫（－∞～∞）ｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）・ｈ（ｚ－ｘ／ｙ）
だからＺの密度関数ｇ（ｚ）は
ｇ（ｚ）＝（ｄ／ｄｚ）・Ｇ（ｚ）
＝∫∫（ａｌｌ）ｄｘｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）・（ｄ／ｄｚ）・ｈ（ｚ－ｘ／ｙ）
＝∫（－∞～∞）ｄｘ・∫（－∞～∞）ｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）・δ（ｚ－ｘ／ｙ）
＝∫（－∞～∞）ｄｘ・∫（－∞～∞）ｄｙ・｜ｙ｜・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）・δ（ｘ－ｙ・ｚ）＝∫（－∞～∞）ｄｙ・｜ｙ｜・ｐ（ｙ・ｚ）・ｐ（ｙ）
＝２・∫（０～∞）ｄｙ・ｙ・ｐ（ｙ）・ｐ（ｚ・ｙ）
である

補足

あまり内容とは関係無くなってしまうのですが
超関数についての質問をしてもいいでしょうか？

ｈ関数っていうのはヘビサイト関数ですよね？
一応超関数についての基礎知識はあります。
ｈ関数の微分がδ関数になることもきちんと証明できます。
ただ理論的なことしかわかってなくて
そういった関数(緩増加超関数)が
実際の積分であらわされたものの意味がよくわかりません。

確か緩増加超関数の定義は
１．急減少関数上の線形写像
２．連続

の２つを満たすことでした
つまり緩増加超関数っていうのは急減少関数に対して複素数をとる写像ですよね？

ではＧ（ｚ）＝
∫（－∞～∞）ｄｘ・∫（－∞～∞）ｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）・ｈ（ｚ－ｘ／ｙ）
のように使われているのはどうしてなのですか？
なんか使われる場所が違うように見えてしかたがないのですが・・
もしよろしければ教えてください

回答No.2

nuubou

Ｘの密度関数をｐ（ｘ）とすればＹの密度関数はｐ（ｙ）であり
Ｚの分布関数Ｇ（ｚ）は
Ｇ（ｚ）＝∫（０～∞）ｄｘ・∫（－∞～ｘ・ｚ）ｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）
＋∫（－∞～０）ｄｘ・∫（ｘ・ｚ～∞）ｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）
＝２・∫（０～∞）ｄｘ・∫（－∞～ｘ・ｚ）ｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）
Ｚの密度関数ｇ（ｚ）は
ｇ（ｚ）＝（ｄ／ｄｚ）・Ｇ（ｚ）＝２・∫（０～∞）ｄｘ・ｘ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｘ・ｚ）
である

補足

早い回答ありがとうございます
Ｇ（ｚ）＝２・∫（０～∞）ｄｘ・∫（－∞～ｘ・ｚ）ｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）
まではたどりつけていたんですが、最後は微分するんですね
やはりこの積分は無理なんでしょうか・・
この積分をずっと考えていて、微分はあまり考えていませんでした。

今試しに微分して計算したらちゃんと合ってました！！
これで答えはでました（一応安心です笑）
気になるところは積分と微分の交換ですが
たぶん容易に示せると思います。

それともう１つ気になるのは
密度関数が存在するかということなんですが、
存在するかわからないときに微分してもいいのでしょうか？
まあこれはあんまり興味が無いことなので
これについての回答は気が向いたらで結構です笑

ありがとうございました
それと上の方でもう１つ質問があります
もしよかったら教えてください

回答No.1

motsuan

∫(－∞～∞)dx・∫(－∞～∞)dy p(x)・p(y) δ(z-x/y)
を計算すればよいのでは？δはδ関数で束縛条件を表しています。