同時確率密度関数のヤコビアン

質問

問. X,Yは独立に正規分布N(0,1)に従うとし
Z = X/Y, W =Y
とする。
Z,Wの同時確率密度関数 f_{Z,W}\left( z,w\right)を求めよ

という問題で、答えは以下の画像なのですが、回答に至るまでの手順にヤコビアン
σ(x,y) / σ(z,w)　= w
というのを使っています。
これを使う必要がる条件と、途中式を教えていただきたいです。（特にexpの添字に(1+z^2)が含まれている理由などがわからないです）

よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

ヤコビアンを使うのはこの問題のように変数変換をするとき。
Z=X/Y，W=Y
だから
X=ZW，Y=W
です。従ってヤコビアンは∂x/∂z=w，∂x/∂w=z，∂y/∂z=0，∂y/∂w=1
∂(x,y)/∂(z,w)=w*1-z*0=wとなって
f_{Z,W}(z,w)=(1/2π)f_{X,Y}(x,y)|w|
=(1/2π)exp(-(x^2+y^2)/2)|w|
=(1/2π)exp(-((zw)^2+w^2)/2)|w|
=(1/2π)exp(-w^2(1+z^2)/2)|w|

お礼

ありがとうございました。