確率

質問

X_1,X_2を独立な標準正規変数とするとき
　Z＝(X^2_1＋X^2_2)/2
の確率密度関数を求めよ。

という問題です、Z=X^2_1+X^2_2だけならカイ二乗分布と同じなんですが、計算したらとんでもないことになってしまいました、どなたかヒントやいいテキストの紹介でもいいのでお願いします、もちろん模範解答をいただければ幸いです。

回答No.5

keyguy

Xの密度関数をp(x)とし
Z=X^2の密度関数をr(z)とすると
r(z)=h(z)・(p(√(z))+p(-√(z))/√(z)/2である
(z<0でh(z)=0であり0<zでh(z)=1である)
証明方法：
∫(x^2<z)・p(x)・dx
をzで微分する

Xの密度関数をp(x)とし
Yの密度関数をq(y)とし
Z=X+Yの密度関数をr(z)とすると
r(z)=(p*q)(z)である
(p*qはpとqの畳み込み積分である)
証明方法：
∫(x+y<z)・p(x)・q(y)・dxdy
をzで微分する

Xの密度関数をp(x)とし
Z=a・X+bの密度関数をr(z)とすると
r(z)=p((z-b)/a)/|a|である
証明方法：
∫(a・x+b<z)・p(x)・dx
をzで微分する

回答No.4

keyguy

教えてくださった定義:

以下は定義では有りません
すべて導くことができます

Xの密度関数をp(x)とし
Z=X^2の密度関数をr(z)とすると
r(z)=h(z)・(p(√(z))+p(-√(z))/√(z)/2である
(z<0でh(z)=0であり0<zでh(z)=1である)

Xの密度関数をp(x)とし
Yの密度関数をq(y)とし
Z=X+Yの密度関数をr(z)とすると
r(z)=(p*q)(z)である
(p*qはpとqの畳み込み積分である)

Xの密度関数をp(x)とし
Z=a・X+bの密度関数をr(z)とすると
r(z)=p((z-b)/a)/|a|である

回答No.3

kony0

確か自由度２のカイ２乗分布って、指数分布になりませんでしたっけ？
あとは#1さんの方針どおりでOKかと。

回答No.2

keyguy

Xの密度関数をp(x)とし
Z=a・X+bの密度関数をr(z)とすると
r(z)=p((z-b)/a)/|a|である

Xの密度関数をp(x)とし
Z=X^2の密度関数をr(z)とすると
r(z)=h(z)・(p(√(z))+p(-√(z))/√(z)/2である
(z<0でh(z)=0であり0<zでh(z)=1である)

Xの密度関数をp(x)とし
Yの密度関数をq(y)とし
Z=X+Yの密度関数をr(z)とすると
r(z)=(p*q)(z)である
(p*qはpとqの畳み込み積分である)

回答No.1

keyguy

Yの密度関数をp(y)とすると
Z=Y/2の密度関数は2・p(2・z)です

お礼

教えてくださった定義をもとにやったらどうにか答えらしきものに行き着くことが出来ました。ありがとうございました。